数学分析试题.doc

第二章函数
§1 函数概念
证明下列不等式:
(1) ;
(2) ;
(3) .
.

;
.
,它们之间的夹角为,试求此三角形的面,并求其定义域.
,试将圆柱的体积表为其高的函数,并求此函数的定义域.
20km,票价规定如下:乘坐 5km以下(包括5km)者收费 1 元;超过 5km 但在15km 以下(包括 15km)者收费 2 元;其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数,并作出函数的图形.
. 若记它随时间的变化规律为,且三个角分别有对应关系,,,求,并作出函数的图形.
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
,若是,试求其周期:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
.
,并证明在无界.
,两个奇函数的乘积是偶函数,一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
,证明可分解成奇函数和偶函数之和.
:在上
(1) 不是奇函数;
(2) 不是单调上升函数;
(3) 无零点;
(4) 无上界.
§2 复合函数与反函数
设,求证.
求下列函数的反函数及其定义域:
(1) ;
(2) ;
(3)
,为实轴上单调函数,求证也是实轴上的单调函数.

求复合函数,.
,求.
,试求.
,求,,.
§3 初等函数
,奇偶性,周期性,有界性,并作出函数的图形:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
,作函数
,,
的图形,并说明的图形与的图形的关系.
,试作函数
的图形,并说明的图形与、图形的关系.
作出下列函数的图形:
(1) ; (2) .

试分别作出,,的图形.
:
(1) ; (2) .
第三章极限与函数的连续性
§1 极限问题的提出
§2 数列的极限
用定义证明下列数列的极限为零:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) .
:
(1) ;
(2) ;
(3) ,其中
(4) ,其中
:
(1) 若,则对任一正整数,有;
(2) 若,?
(3) 若,且,则存在,当时,有;
(4) 若,且,则.
?(其中“”是逻辑符号,表示“存在”.)
(1) ,,当时,有;
(2) ,,当时,有;
(2) ,,当时,有(为常数).
,能否断定、也收敛?
,且,求证:
,.
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ,;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) .
:若,中一个是收敛数列,另一个是发散数列,则是发散数列;又问和是否也是发散数列?为什么?
,证明发散.
,证明:
.
,证明:
(1) ;
(2) 若,则.
,证明存在,并求出它:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .

证明:.
:若,且,.
,证明:
(1) ;(又问,它的逆命题成立否?)
(2) 若,则.
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) 若,则.
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
:若为无穷大量,为有界变量,则为无穷大量.
20.(1) 两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性?
(2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形;
(3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形.
,求下列极限:
(