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线性代数线性方程组总结.docx


文档分类:研究生考试 | 页数:约27页 举报非法文档有奖
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线性代数线性方程组总结线性代数公式 1、行列式 ,展开后有n!项,可分解为2n行列式;: ①、Aij和aij的大小无关; ②、某行的元素乘以其它行元素的代数余子式为0;③、某行的元素乘以该行元素的代数余子式为A;:Mij?(?1)i?: 将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1?(?1) ? Aij?(?1)i?jMij n(n?1)2 D;D; 将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2?(?1)将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4?D;: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积??(?1) n(n?1)2 n(n?1)2 将D主对角线翻转后,所得行列式为D3,则D3?D; ; ③、上、下三角行列式:主对角元素的乘积;④、?◤?和?◢?:副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式: n(n?1)2 ; AOA ??AB、??(?1)m?nABCBOBBOBC ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6. 对于n阶行列式A,恒有:?E?A??n??(?1)kSk?n?k,其中Sk为k阶主子式; k?1n ?0的方法: ①、A??A;②、反证法; ③、构造齐次方程组Ax?0,证明其有非零解;④、利用秩,证明r(A)?n;⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 8. A是n阶可逆矩阵: ?A?0; ?r(A)?n?A的行向量组线性无关;?齐次方程组Ax?0有非零解;??b?Rn,Ax?b总有唯一解; ?A与E等价; ?A可表示成若干个初等矩阵的乘积;?A的特征值全不为0;?ATA是正定矩阵; ?A的行向量组是Rn的一组基;?A是Rn中某两组基的过渡矩阵; :AA*?A*A?AE无条件恒成立;10.(A?1)*?(A*)?1 (AB)T?BTAT (A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A* (A*)T?(AT)*(AB)?1?B?1A?1 ,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;,其中均A、B可逆: ?A1?若A?? ??? A2 ?? ?,则:?? ?As? Ⅰ、A?A1A2?As;?A1?1??1 Ⅱ、A?? ???? ?1 ?1A2 ???;?? ?As?1?? O? ?;B?1? B?1? ?;O? ?A?1?AO? ②、???? OB???O?O?OA?③、?????1 ?BO??A ?1 ?A?1?AC?④、???? OB???O ?1 ?1 ?A?1CB?1? ?;?1 B? O? ;?1?B? ?A?1?AO? ⑤、?????1?1 CB????BCA 3、矩阵的初等变换与线性方程组 ?n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F??r ?O 对于同型矩阵A、B,若r(A)?r(B)?????A?B;: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; : ①、若(A?,?E)???(E?,?X),则A可逆,且X?A?1; ②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:(A,B)???(E,A?1B); ?1 c r ?E O? ?;O?m?n 等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; ③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax?b,如果(A,b)?(E,x),则A可逆,且x?A?1b;: ①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; ??1? ②、??? ??? r ?2 ?? ?,左乘矩阵A,?乘A的各行元素;右乘,?乘A的各列元素; ii ?? ??n? ?1??1????? E(i,,j)例如:?1???1?; ??1?1????? ?1 ?1 ③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)? ?1?1 ?1?? 1???1 ④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))?E(i()),例如:?k??? ?k??1??? ? ?1 1k ?? ?(k?0);?1?? k??k??1?1 ???? ?1⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k)),如:?1???(k?0); ??1?1????? : ①、0?r(Am?n)?min(m,n); ②、r(AT)?r(A); ③、若A?B,则r(A)?

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  • 上传人rdwiirh
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  • 时间2019-02-23