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分形维度和Hurst指数的实验分析(1)摘要在统计自仿射模型中,分形维度和Hurst指数之间存在着线性关系。但也有很多统计模型允许分形维度和Hurst指数的任意组合。所以,判断那种模型更符合实际问题是十分必要的。本文对四组实际的以太网流量序列的分形维度和Hurst指数做了实验分析,并得出网络流量数据应采用分形维度和Hurst指数相分离的模型的结论。关键词自相似;长相关;分形维度;Hurst指数;估计1引言如果一个随机信号x(t)的统计特性是自相似的,即它在被放大或缩小时其统计特性不变,则它被称为自相似的,也称为随机分形。若该随机信号x(t)具有平稳的增量,则称x(t)是一个具有平稳增量过程的自相似过程。当0HHH是描述业务长相关性的重要参数,FGN是目前最为广泛的一种网络流量自相似模型[1,2]。数学家Hausdoff在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为Hausdoff维数,即分形维度,记作D。它在一般情况下是一个分数。FBM的分形维度D与它的Hurst指数H之间满足以下关系其中N为分形数,r为分形成线段的尺寸比例。当0HD=-H。实际工作中,D和H这两个参数都是十分重要的,从而值得研究下列的问题:对于实际以太网网络流量而言,是否满足D=-H?是否存在更符合实际的以太网网络流量的统计模型?本文针对这两个问题,结合实际以太网流量数据对D和H的关系做出进一步的论述。所采用的四个实际以太网流量数据序列是美国Bellcore的研究人员采集的。数据序列的名称分别为、、和[3]。我们将对这四组数据的D和H分别做出估计,并对结果进行分析。2自相似随机过程模型平稳高斯随机过程x(t),它的自相关函数为:当h→0时,自相关函数有如下的渐近形式它表现了x(t)的局部特性,可以定义分形维度为:D=-α/2。如果在延时很大的时候,它的自相关函数c(h)是呈幂级数形式缓慢衰减,即当|h|→∞时,它表现了x(t)的全局特性,即长相关特性。可以定义Hurst指数为:H=1-β/2。FGN是一个平稳自仿射随机过程,它的自相关函数为:此时H∈(1/2,1)。对于一个自仿射模型,局部特性可以完全由全局特性反应出来,所以D和H间存在着线性关系,D=-H。相对于上面介绍的自仿射模型,这里给出一种D和H相分离的统计模型——柯西类模型[4]。这类模型的自相关函数可以表示为:自相关函数可以是α∈(0,2]和β>0的任意组合。如果β>0,c(h)在h→0和|h|→∞时的渐进性满足、式。因此,随机过程的分形维度D和Hurst指数H就可以分别由α和β计算出来。还有一些其它D和H相分离的统计模型,这里就不详细介绍了。研究思路经验变量图法估计分形维度D[4,5]如果一个随机过程Z(x)的增量过程Ih={Z(x)-Z(x+h):x∈Rn}对所有的延时向量h都是平稳的,那么Z(x)就被称为固有平稳的,它的变量图可以定义为:增量h和变量图r(h)之间存在着如下的尺度关系:当上面的尺度关系应用在平稳随机过程中时,这个平稳随机过程的自相关函数就满足式。我们将r(h)和h画在双对数图(log-logplot)中,用最小二乘法做直线拟和,所拟和直线的斜率为α。[6]小波法在时域和频域都可以使用,以离散小波变换和多分辨率分析为基础,