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文档列表 文档介绍

第五节
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
对坐标的曲面积分
第十一章
一、有向曲面及曲面元素的投影
曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
双侧(封闭)曲面曲面分内侧和外侧
曲面的方向
双侧曲面有两个侧面,
任意规定一个侧面为正侧,
另一个侧面便是负侧

曲面分左侧和右侧
曲面分上侧和下侧
为封闭曲面:一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面
有向曲面其方向用法向量指向表示:
方向余弦
> 0 为前侧
< 0 为后侧
封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
外侧
内侧
•设为有向曲面,
侧的规定
其面元
在 xoy 面上的投影记为
的面积为
则规定
类似可规定
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面的流量.
分析: 若是面积为A的平面,
则流量
法向量:
流速为常向量:
对一般的有向曲面,
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
分析可得
, 则
被积函数
定向积分曲面
类似可定义
以上三个曲面积分均称为第二类(对坐标)曲面积分.
(1)存在条件:
(2)组合形式:
(3)物理意义:
注:
若记正侧的单位法向量为
令
(4)向量形式:
(5)∑封闭曲面:

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