.微分方程模型的建模步骤.doc

、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统,有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式,但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。例1某人的食量是10467(焦/天),其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中,他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效,而1公斤脂肪含热量41868(焦)。试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词,但要寻找的是体重(记为W)关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数,我们就能找到一个含有的微分方程。,并设一天开始时人的体重为。。因此可认为是关于连续而且充分光滑的。,其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收;输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”,由此,对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况,因此,可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具体的数值,得输入/天=10467(焦/天)—5038(焦/天)=5429(焦/天),输出/天=69(焦/公斤•天)×(公斤)=69(焦/天)。体重的变化/天=(公斤/天)考虑单位的匹配,利用“公斤/天=”,可建立如下微分方程模型。模型求解用变量分离法求解,模型方程等价于,积分得,从而求得模型解就描述了此人的体重随时间变化的规律。模型讨论现在我们再来考虑一下:此人的体重会达到平衡吗?显然由的表达式,当时,体重有稳定值。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下,是不发生变化的,所以。这就非常直接地给出了。所以,如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值,就不必去求解微分方程了!至此,问题已基本上得以解决