函数奇偶性的判断.doc

函数奇偶性的判断井冈山大学附中李志荣函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它的应用较为广泛。函数奇偶性的判断一般有以下几种方法:一、定义判断法一般地,对于函数f(x)1、若对于函数定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数2、若对于函数定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数由定义中x的任意性知,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。由此可得出由定义判断函数奇偶性一般步骤:(1)确定f(x)的定义域是否关于原点对称(2)若函数解析式比较复杂则先化简(3)判断关系式f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)是否成立。例1、判断函数f(x)=(x+1)的奇偶性解:由≥0得-1<x≤1,因为f(x)的定义域不关于原点对称。所以f(x)非奇非偶函数例1、函数f(x)=的奇偶性解:由1+sinx≠0得sinx≠1∴f(x)的定义域为{x/x∈R且x≠2k-,k∈z}因为f(x)的定义域不关于原点对称。所以f(x)是非奇非偶函数评注:在利用定义法判断函数的奇偶性时,第一个步骤必不可少,否则例1化简函数式为f(x)=,从而判断它为偶函数,这样就会得出错误的结论。例3、判断f(x)=1+的奇偶性解:f(x)=,易见定义域为{{x/x∈R且x≠0}关于原点对称∵f(-x)===-f(x)∴f(x)为奇函数例4、判断f(x)=sin-cos+cos2x的奇偶性解:显然x∈R,定义域关于原点对称∵f(x)=sin-cos+cos2x=(sin+cos)(sin-cos)+cos2x=-cos2x+cos2x=0∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)∴f(x)是奇函数又是偶函数。评注:第二个步骤可使判断过程简化,在解题中要灵活运用,例3若不化简而直接判断则较困难,例4若不化简而由f(-x)=-f(x),从而判断它为偶函数就会得出不完整的结论,但在函数解析式化简过程中必须保证是恒等变形,特别要防止变形中定义域的变化。例5、判断函数f(x)=xlg的奇偶性解:显然x∈R,定义域关于原点对称∵f(-x)+f(x)=-xlg+xlg=xlg≠xlg1=0(不恒成立)f(-x)-f(x)=-xlg-xlg=-xlg[(1+x)-x]=xlg1=0∴f(x)是偶函数评注:从上例可知,有时应用定义的等价形式:f(-x)=-f(x)óf(-x)+f(x)=0ó=-1(f(x)≠0)f(-x)=-f(x)óf(-x)-f(x)=0ó=1(f(x)≠0)来判断函数的奇偶性往往比较方便二、性质判断法有关函数的奇偶性有如下性质:在公共定义域