6_2二次型化为标准型.ppt

§ 二次型化为标准型
一、正交变换化二次型为标准形
二、拉格朗日配方法的具体步骤
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一、正交变换化二次型为标准形
,,,对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求
可逆的线性变换,将二次型化为标准形.
说明
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
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解
,并求其特征值
例1
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5
从而得特征值


得正交向量组
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,得正交矩阵
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于是所求正交变换为
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二、拉格朗日配方法的具体步骤
,,,用正交变换化二次型为标准形,其特点是保
持几何形状不变.
,,,问题有没有其它方法,也可以把二次型化
为标准形?
,,,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
效的方法——拉格朗日配方法.
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1. 若二次型含有的平方项,则先把含有
的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同
样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线
性变换,就得到标准形;
拉格朗日配方法的步骤
2. 若二次型中不含有平方项,但是
则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方
法配方.
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