基本不等式的应用知识梳理与典型练习题含答案.doc

>0,,b>0,则≥,当且仅当时取“=”.这一定理叙述为::运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(2)和或积为定值;(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)(1)a2+b2≥(a,b∈R).(2)注:不等式a2+b2≥2ab和≥它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、:ab≤()≤(a,b∈R).(4)+≥2(a,b同号且不为0).(5)(a,b∈R).(6)(7)abc≤;(8)≥;、最小值问题(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是( ) :因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥2=2=4,当且仅当a=b=时取等号,>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )A. :∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.当且仅当a=1,b=(a<b),其全程的平均时速为v,则( )<v< =C.<v< =解:设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v==<=.又v-a=-a=>=0,∴v>.()若实数x,y满足xy=1,则x2+:由xy=1得x2+2y2=x2+≥2,当且仅当x=±(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+:由条件知,m>0,n>0,m+n=1,所以mn≤=,当且仅当m=n=时取等号,∴log2m+log2n=log2mn≤log2=-2,故填-(1)求函数y=(x>-1):∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y==m++5≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是( )>lgx(x>0)+≥2(x≠kπ,k∈Z)+1≥2(x∈R)D.>1(x∈R)解:A中,x2+≥x(x>0),当x=时,x2+=,sinx+≥2(sinx∈(0,1]);sinx+≤-2(sinx∈[-1,0)).C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).D中,∈(0,1](x∈R).故C一定成立,:这里(1)是形如f(x)=的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将f(x)转化为f(x)=a(x+d)++h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在. (1)已知t>0,则函数f(t)=:∵t>0,∴f(t)==t+-4≥-2,当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2,则x+y=y+=(y-2)++10≥18,当且仅当y-2=,即y=6,x=:由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x=(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )∈M,0∈M ∉M,0∉∈M,0∉M ∉M,0∈M解法一:求出不等式的解集:(1+k2)x≤k4+4⇒x≤=(k2+1)+-2⇒x≤=2-2(当且仅当k2=-1时取等号).解法二(代入法):将x=2,x=0分别代入不等式中,:一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,,要