微分中值定理的证明及应用.doc

微分中值定理的证明及应用黄敏(井冈山大学数理学院,江西吉安343009)指导老师:颜昌元[摘要]本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题.[关键词]辅助函数中值定理介值定理引言微分中值定理不仅是微分学的基本定理,,:罗尔定理、拉格朗日中值定理、,以罗尔中值定理为基础,,:1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,“逆序统一证明”“微分中值定理”(Rolle)中值定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等,即,那么在内至少存在一点,(Lagrange)中值定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内内可导,那么在内至少存在一点,(Cauchy)中值定理如果函数与在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么在内至少存在一点,,,,定理3的结论是:至少存在一点,使得即,即,因为,所以只要(*)由(*)式可以试着构造函数只要它满足罗尔中值定理的条件,便知存在一点,(*)式成立,,确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.“K”值法拉格朗日中值定理中,令,则有,即有,不难发现,在上均满足罗尔中值定理的条件,其中,,因此,只需将上述方法推而广之,,由已知,对中任意,,可推得(根据罗尔中值定理可证得).此时有即不难发现,可以取作为辅助函数,它在上均满足罗尔中值定理的条件,故有,又,所以即此方法构造辅助函数的过程相当巧妙,而且所得辅助函数简单明朗,但逻辑关系并非十分严密,带有一定的偶然性,不易理解,没有上种“分析推理法”(把换成),证明上述方程在内存在根,将上式左边对积分,,在内可导,且由罗尔中值定理知,至少存在一点,使,,(把换成)证明上述方程在内存在根,将上式左边对积分,有故取则在上连续,在内可导,且由罗尔定理知,至少存在一点,,“积分法”的关键步骤也是构造