计量经济学数学基础.doc

《计量经济学》数学基础数学基础(Mathematics)第一节矩阵(Matrix)及其二次型(QuadraticForms)第二节分布函数(DistributionFunction),数学期望(Expectation)及方差(Variance)数理统计(MathematicalStatistics)第一节矩阵及其二次型(MatrixanditsQuadraticForms)×n矩阵可表示为:矩阵的加法较为简单,若C=A+B,cij=aij+bij但矩阵的乘法的定义比较特殊,若A是一个m×n1的矩阵,B是一个n1×n的矩阵,则C=AB是一个m×n的矩阵,而且,一般来讲,AB≠BA,但如下运算是成立的:结合律(AssociativeLaw)(AB)C=A(BC)分配律(DistributiveLaw)A(B+C)=AB+AC问题:(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立?向量(Vector)是一个有序的数组,既可以按行,也可以按列排列。行向量(rowvector)是只有一行的向量,列向量(columnvector)只有一列的向量。如果α是一个标量,则αA=[αaij]。矩阵的转置矩阵(transposematrix)记为,是通过把的行向量变成相应的列向量而得到。显然()′=,而且(+)′=+,乘积的转置(Transposeofproduction),。可逆矩阵(inversematrix),如果n级方阵(squarematrix)A和B,满足AB=BA=I。则称A、B是可逆矩阵,显然,。如下结果是成立的:。)恒等矩阵(identitymatrix)对角线上元素全为1,其余全为0,可记为I;2)标量矩阵(scalarmatrix)即形如αI的矩阵,其中α是标量;3)幂等矩阵(idempotentmatrix)如果矩阵具有性质,这样的矩阵称为幂等矩阵。定理:幂等矩阵的特征根要么是1,要么是零。4)正定矩阵(positivedefinite)和负定矩阵(negativedefinite),非负定矩阵(nonnegative ) 或半正定矩阵(positivesemi-definite),非正定矩阵(nonpositivedefinite) 或半负定矩阵(negativesemi-definite);对于任意的非零向量,如有>0(<0),则称A是正(负)定矩阵;如有≥0(≤0),非负(非正)定矩阵。如果A是非负定的,则记为A≥0;如果是正定的,则记为A>0。协方差矩阵是半正定矩阵,几个结论:a)恒等矩阵或单位矩阵是正定的;b)如果是正定的,则也是正定的;c)如果是正定的,是可逆矩阵,则是正定的;d)如果是一个n×m矩阵,且n>m,,则是正定的,是非负定矩阵。5)对称矩阵(symmetricmatrix);如果=′,则称为对称矩阵。(trace)一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和,记为,则,如下结论是显然的。1)(是标量)特例2)3)4),特例5)循环排列原则 tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理:实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。因为A是实对称矩阵,故有在矩阵C,使得,其中,所以,。(rank)一个矩阵A的行秩和列秩一定相等,一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩,记为r(A),不加证明,我们给出如下结果:1)≤(行数、列数)2)≤≤,其中A、B分别为m×n1、n1×n矩阵,特例:如果A、B为n×n矩阵,而且AB=0,则≤3),其中是n×n的方阵4)≤5)设是n×n矩阵,且,则6)设是n×n矩阵,且,。是一个其元素都为1的n维列向量,即=(1,1,…,1),如果我们再假定,计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表示出来,很方便进行数学推导。显而易见,,,样本的均值与方差的矩阵表示如下:1)样本均值矩阵表示;事实上即,而,;2)样本方差矩阵表示易知:。其中矩阵是一个每个元素都为的阶方阵,从而。矩阵的对角线上的元素为,非对角线的元素为,是一个对称矩阵。故样本方差:。定理:矩阵是幂等矩阵。)矩阵的二次型(QuadraticForms)和线性变换(linear transferring)设P是一数域,一个系数在数域P中的的二次齐次多项式……………………………(1)称为数域P上的一个n元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型。例如就是有理数域上的一个三元二次型,为了以后讨论上的方便,在(1)中,<的系数写在。而不简单地写成。和在几何中一样,在处理许多其它问题时也常常希望通过变量的线性替换简化有关的二次型,为此,我们引入定义1设;是两组