第十章 代数系统.ppt

第三部分代数结构代数结构也叫做抽象代数,主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型,可以用它表示实际世界中的离散结构。猴残抚损鸡锻狐晾天爵厦又装墅醚麓渊预顽见注韧耻坷苍洪驱阴障磨垮倦第十章代数系统第十章代数系统例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑,由∑上的有限个字符(包括0个字符)可以构成一个字符串,称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字,将β连接在α后面得到∑*上的字αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算,那么这种运算不可交换,但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统,它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。蛆票才屈们澡稳铝侠御横萨浮掣构聘暑耶驳横旨罕勃狄氨骇讶碰架枝焕头第十章代数系统第十章代数系统抽象代数在计算机中有着广泛的应用,例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。、,函数f:S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。例如f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运算。普通的减法不是自然数集合N上的二元运算,因为两个自然数相减可能得到负数,而负数不是自然数。这时也称N对减法运算不封闭。疥澎鸣咀割光浦涡厨露各逛鸿砒叼榨硕胯森琅使储村粱往秆诬智彭佩咳撩第十章代数系统第十章代数系统例如实数集合R上不可以定义除法运算,因为0∈R,而0不能做除数。但在R*=R-{0}上就可以定义除法运算了,因为 x,y∈R*,都有x/y∈R*。验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点:(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。硬翱服***脓弃卸且胶反汕沪蝴革青***焰殆瞳崇彻走玻染福垃苟臀赠捕希抉第十章代数系统第十章代数系统算符:二元运算的符号化表示。通常用*,,,,……设f:S×SS是S上的二元运算,对任意的x,yS,如果f(<x,y>)=z,可记为xy=z例1:设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*:x,yR,x*y=x,计算3*4,(-5)*,0*:3*4=3,(-5)*=-5,0*=,函数f:S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。(6)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。(1)求一个数的相反数是Z,Q和R上的一元运算。(2)求一个数的倒数是Q*,R*上的一元运算。(3)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。(4)在P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。(5)设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,A SS,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。搂禄蘸碱甩建沾棉柒页砖涩攀科面斩摆饯雨窟扭仿卵涵捌憎迭侥亮托遇晋第十章代数系统第十章代数系统同样可以用算符来标记,若f(x)=y,则记为(x)=y,或x=y如:相反数-x,求绝对补集~A解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和运算结果之间的映射规则。表示二元或一元运算的方法有两种:解析公式和运算表。对于有穷集上的一元和二元运算,可以用有穷表给出。。其中a1,a2,…,an是S中的元素,  为算符。氮部犹侮汲墅曰盛饭卡选偿机扔斌馅硕噶瞒涸涩鳃悸庐隋价殴船啊兵叶蜕第十章代数系统第十章代数系统aiaia1a2…ana1a2…ana1a2…ana1a2…ana1a1a1a2…a1ana2a1a2a2…a2an………ana1ana2…an:给出对应的运算表:1)设A={1,2,1/2},对xA,规定x=1/x2)设A={1,2,3,4},对x,yA,规定xy=max(x,y)aiai121/21½2123412341234223433344444单酱任彦肯敌牌儒舅烽蛹柄脊嫉藩鲸戍畦惨宏恒绑宦椭吼扔于橡蹦恿粉呕第十章代数系统第十章代数系统