黄金分割与斐波那契数列.doc

第八讲黄金分割与斐波那契数列黄金分割黄金分割的概念把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是(√5-1):2,。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和,因此称为黄金分割,也称为中外比。这是一个十分有趣的数字。德国天文学家开普勒()曾说“几何学有两大宝藏,其一为毕氏定理,其二为将一线段分成外内比。前者如黄金,后者如珍珠。”所谓将一线段分成“中外比(或称中末比或外内比)”,这是欧几里得在《几何原本》(公元前三世纪前后)里的说法:Astraightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,,当整体线段比大线段等于大线段比小线段时,则称此线段被分为中外比。关于黄金分割的历史,可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他们已经研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数学帕乔利称之为神圣比例,并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时,人们都还是称之为“中外比”,直到19世纪初,黄金分割这个名称才出现。黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为“金法”,17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”,也就是我们常说的比例方法。其实有关“黄金分割”,中国也有记载。虽然没有古希腊的早,但它是中国古代数学家独立创造的,后来传入了印度。经考证,欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的。黄金分割的尺规作图设线段为AB。作BD⊥AB,且,连AD。以D为圆心,DB为半径作圆弧,交AD于E。再以A为圆心,AE为半径作圆弧,交AB于C,则。故C即为AB的黄金分割点,如图8-1所示。图8-1黄金分割点黄金三角形与正五边形所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其腰的与底的长度比为黄金比。我们若以底边为一腰作一个等腰三角形,则此三角形亦为一黄金三角形,如图8-2。图中三种不同长度的线段,其中最长的线段a与次长的线段b比是黄金分割,次长的线段b与最短的线段c也是黄金比例。古希腊时代有个毕达哥拉斯为首的哲学家与数学家组织,图8-2黄金比例他们以一个在外面围上正五边形的五角星作为他们毕氏学派的标志。五角星是非常美丽的,我国的国旗上就有五颗,还有不少国家的国旗也用五角星。不难发现五角星内部又隐藏着一个正五边形,画出这个五边形的对角线,就产生一个小的倒五角星形,其内部也包含一个更小的五边形,再画出它的每条对角线又可得到一个小小的五角星形……这个过程可以不断地进行下去。但最令毕氏学派对五角星形着迷的并不是它能够自我复制的特性,而是隐藏在它线条之内的“黄金比例”:所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的