1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,.)(1).(2)设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为.(3)对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为.(4)设,为三阶非零矩阵,且,则=.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数在点处()(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在(2)设在区间上令,,则()(A)(B)(C)(D)(3)则()(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设则三条直线,,(其中)交于一点的充要条件是()(A)线性相关(B)线性无关(C)秩秩(D)线性相关,线性无关(5)设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是()(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.(2)计算曲线积分,其中是曲线从轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的.(3),在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值.(2)设函数具有二阶连续导数,而满足方程,、(本题满分6分)设连续,且(为常数),、(本题满分8分)设证明:(1)存在;(2)、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1)设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.(2)已知是矩阵的一个特征向量.(Ⅰ)试确定参数及特征向量所对应的特征值;(Ⅱ)问能否相似于对角阵?、(本题满分5分)设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.(1)证明可逆;(2)、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,,求随机变量的分布律、、(本题满分5分),、填空题(本题共5分,每小题3分,.)(1)【答案】【分析】.【解析】将原式的分子、分母同除以,得评注:使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为,而本题中,极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】.(2)【答案】【解析】,,,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,:幂级数的收敛区间指的是开区间,,,则,因为可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率,而可由的参数方程求得:,所以切线的方程为,:本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】【解析】由,对按列分块,设,则,,故有非零解,那么,:若熟悉公式,则,可知,亦可求出.(5)【答案】【解析】方法1:,,“第个人取得黄球”,,则完全事件组为(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知;;(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成,球的总数变成,第二个人取得黄球的概率就为);(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为).故应用全概