一元函数微分学.doc

微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数,从本质上看,它是一类特殊形式的极限,它是函数变化率的度量,它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。微分,它是函数增量的线性主部,它是函数增量的近似表示。微分与导数密切相关,这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景,都可以给出几何解释,因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题,寻求函数的极值与最值,以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。本章分两部分,第一部分在深入研究导数概念的基础上,讨论函数求导的基本公式,以及函数求导的运算法则。相应地,将推出函数微分的基本公式与运算法则,同时,还将介绍可导与连续的关系,高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。第二部分首先建立导数应用的理论基础――微分中值定理,然后相继讨论导数的一些重要应用:函数的多项式逼近(泰勒公式)、求未定式的极限的一种方法(洛必达法则)、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。具体的要求如下:理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。,会求拐点,会描述函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。。(L’Hospital)法则求不定式的极限。。。§2-1 导数的概念导数概念的引入问题Ⅰ:瞬时速度问题。直线运动方程s=s(t)时间间隔的平均速度时刻的瞬时速度问题Ⅱ:曲线切线的斜率。xTyoM0y=f(x)x0φMαx0+△xN导数的定义定义1:设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在取得增量时,相应地函数y取得的增量,若极限存在,则称函数在点处可导,称这个极限为在点处的导数,记为,,,即定义2(导函数) 导函数导数(值) §2-2 求导法则函数的线性组合、积、,,则推广:,,(1);(2);(3);(4),求;,求y’;,求y’;反函数的导数在单调、连续反函数在单调、连续。,。解 是()的反函数,。解 ()的导数解 ,特别地复合函数的导数,,,(1);(2);(3);(4)。(1),求f’(1);(2);(3);(4);,,比如,求y’。高阶导数设,,,…,;(n为正整数)的n阶导数,n+1阶导数,并求,;;;,求或的一阶、二阶导数;,求的二阶导数。-112****题2-2()2(3)(7)(9)(12)(13)(14),3,4,5,6(1)~(8)(11)(13)~(15)(18)~(20)(22)(23),7,8(1)(3),9,10(2)(5)(6),12§2-3 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数隐函数的导数方程函数(显化) (不能显化,或很难显化)求由方程所确定的隐函数的导数;求由方程所确定的隐函数y在x=0处的导数;求由方程确定的曲线在点(0,0)处的切线方程;求由方程确定的隐函数y的二阶导数y’’。,求时刻t的运动速度;解 ,,且的方向:。相关变化率,,且x与y之间存在联系,从而,之间也存在一定关系。-121****题2-3()1,2,3(1)(4),5,6§2-4 函数的微分微分的定义引入:边长为的正方形全导法加热,问薄板面积改变了多少?定义:设函数在的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量时,如果函数的增量可以表示为其中A是与有关而与无关的常数,是比高阶的无穷小量,则函数在点处可微,称为微分,即定理:函数在点处可微的定义的充分必要条件是函数在点