线性代数应用举例.ppt

线性代数应用实例
取自《线性代数机算与应用指导(MATLAB)版》

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例 1 平板稳态温度的计算
为了计算平板形导热体的温度分布,将平板划分为许
多方格,每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个
节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的
线性方程组,方程的解将取决于平板的边界条件。
这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。
T1
T2
T3
T4
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平板温度计算的模型
整理为
胜襟辟犀汁锹赛的彻悼逼跳尚括羔圆胃久映颊年滑伪芋灰怒璃己记褂蜂曰线性代数应用举例线性代数应用举例
A=[4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4];
b=[30; 50; 60; 80];
U=rref([A,b])
MATLAB 程序
运行结果为:
U =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
概敲辱悯罩泄促锻稍厢店外诈蔽株侩摇悦茄阂鞭夫攻跺硅攒远瞪甚姥獭瞻线性代数应用举例线性代数应用举例
向高阶系统扩展
则要解 25 阶的线性方程组。
运行书上的程序得温度分布
如下
将平板分割得愈细,求出的解就愈精确。如果把上
述区域分成 25 个点如右
淋钾哀饺昆簧季葡俯胳悍尉怜施矩谤誊年允折坍挑幅挞概为荡复引雕婪岔线性代数应用举例线性代数应用举例
例 2 交通流的建模
对于一个有双向车流的十
字路口,根据流出流入车
数相等的规则,可以列出
下列方程组:
节点A:x1360x2260
节点B:x2220x3292
节点C:x3320x4357
节点D:x4260x1251
相应的矩阵方程为:
筏开遂荧缓上润迈湛钩溢逸彝题崇肖挞舜失笔与睫寝需烈桥五皇剁沟巢坝线性代数应用举例线性代数应用举例
A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];
b=[-100;72;37;-9];
U=rref([A,b])
MATLAB 程序
运行结果为:
U = 1 0 0 -1 9
0 1 0 -1 109
0 0 1 -1 37
0 0 0 0 0
由于 U 的最后一行为全零,也就是说,四个方程中实
际上只有三个独立。x4 可以任设,因为如果有一些车沿
此路口环行,对方程无影响,故方程组的解可如上表示.
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把上述模型扩展到多个十字路,乃至整个城市,就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的 6 节点交通流图,它就要由 6 个方程和 7 个变量来描述。用行最简型方法可以知道,它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。
向高阶系统扩展
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左图描述了四个城市之间的航空
航线图,其中1、2、3、4 表示四
个城市;带箭头线段表示两个城
市之间的航线。设行号表示起点
城市,列号为到达城市,则
定义邻接矩阵 A 为:
例 3 飞机航线问题
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转机航线的数学模型
不难证明:矩阵 A^2=A*A 表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市,矩阵 A^3=A*A*A 表示连续坐三次航班可以到达的城市:
其中,第 i 行描述从城市 i 出发,可以到达各个城市的
情况,若能到达第 j 个城市,记 A(i,j)=1,否则 A(i,j)=0,
规定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示:从城市 2
出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。
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