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2016考研线性代数:解析行列式
一、知识点回顾

(1) 概念
对行列式的概念,考生应注意两点:行列式是一个数;这个数是“不同行、不同列、n项乘积的代数和”。
(2) 性质
对于行列式的性质,考生应明白,这些性质是用来对行列式变形的,利用行列式的性质,可以将行列式变形成理想的形式,比如三角行列式。
(3) 展开定理
展开定理的作用是降阶,可以将原来的n阶行列式展开成若干个n-1阶行列式。

行列式跟后续很多章节都有联系。比如:矩阵A可逆。
二、常见题型总结
1、数值型行列式的计算
(1)低阶列式(三阶或四阶)
计算思路:展开定理、拉普拉斯展开定理、利用范德蒙行列式。
其中,展开定理,适用于每行(列)最多有两个非零元的情形,当非零元多于两个时,可以先利用行列式的性质,对其变形。口诀:“找1、化0、展开”。
拉普拉斯展开定理适用于:0比较多,但是排布比较复杂,可以先利用行列式的性质将0集中,然后再利用拉普拉斯展开定理展开。
范德蒙行列式适用于:各行或各列成等比的情况。但是,在使用范德蒙行列式时,需要先将所给行列式化成标准形式:第一行或者第一列的元素全为1。
(2)高阶行列式的计算(n阶)
计算思路:三角化、展开定理。
其中,可以使用三角化的题型有两种:爪型行列式与对角线型行列式。
对于爪型行列式,直接进行三角化;对角线型行列式,可以先化成爪型,再进行三角化。
除此之外,我们还总结出,计算n阶行列式的一个基本思想:化0。对于n阶行列式,大的方向就是利用行列式的性质变形,使得行列式中出现很多0,当0比较多时,再进行计算,就容易多了。
展开定理,当n阶行列式,某一行(列)最多有两个非零元时,可以按照这一行(列)展开,展开定理有两个作用:一、通过展开定理可以将行列式简化;二、可以得到递推公式。特别是,对三线型行列式,可以通过展开定理展开,得到一个递推公式。
2、抽象型行列式的计算
抽象型行列式计算题型有三种:
1)矩阵按列分块
计算思路有两个:一、利用行列式的性质;二、分解成两个矩阵相乘的形式。
当矩阵按列分块,且每一列有两个或两个以上的向量组成时,可以先用行列式的性质对其变形,将其变成每一列只含一个向量的形式;
或者,可以利用矩阵的乘法,将其分解成两个矩阵相乘的形式,再利用公式。
注意:第二种方法在使用时必须保证分解后的矩阵均为方阵才可以,因为,只有方阵才可以求行列式。
2)矩阵方程
计算思路:提公因式,同取行列式。
比如,求矩阵A的行列式,就首先把A作为一个公因式,提取出来,再在方程两边同取行列式即可。
3)两矩阵和的行列式
有两种计算思路:a、合并;b、利用单位矩阵变形。
因为两矩阵和的行列式是没有公式的,当这两个矩阵有关联时,可以将其合并成一项,求行列式;当两个矩阵之间无关联时,可利用单位矩阵变形,令其中一个矩阵左乘或右乘一个单位矩阵,再将写成某一个矩阵与其逆矩阵乘积。
4)利用特征值
矩阵的行列式等于矩阵所有的特征值之积。

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