2011考研数学基础班概率论与数理统计讲义.doc

2011考研数学基础班概率论与数理统计讲义
第一章随机事件和概率
第一节基本概念
1、排列组合初步
(1)排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
:方程的解是
A.  4 B. 3 C. 2 D. 1
:有5个队伍参加了甲A联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少?
(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。
:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法?
:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少?
:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法

(4)一些常见排列
特殊排列
相邻
彼此隔开
顺序一定和不可分辨
:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单?
①3个舞蹈节目排在一起;
②3个舞蹈节目彼此隔开;
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法?
:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法?
重复排列和非重复排列(有序)
:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?
对立事件
:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法?
:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?
:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?
顺序问题
:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序)
:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序)
:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序)
2、随机试验、随机事件及其运算
(1)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
例如:掷一枚硬币,出现正面及出现反面;掷一颗骰子,出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件;电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数(泊松分布);对某一目标发射一发炮弹,、(正态分布)。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示,例如(离散)。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。
一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。
如果某个是事件A的组成部分,即这个在事件A中出现,记为。如果在一次试验中所出现的有,则称在这次试验中事件A发生。
如果不是事件A的组成部分,就记为。在一次试验中,所出现的有,则称此次试验A没有发生。
为必然事件,Ø为不可能事件。
(2)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率: ,