08中考压轴题练习.doc

图形运动中的函数
1.(2002年上海)操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
探究:设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.(图18、图19、图20的形状大小相同,图18供操作、实验用,图19和图20备用)
图18 图19 图20
1.(1)PQ=:过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,M都是矩形,△P都是等腰直角三角形(如图(1)).
图(1)
∴ NP=NC=MB.
∵∠BPQ=90°,∴∠QPN+∠BPM=90°.
而∠BPM+∠PBM=90°,∴∠QPN=∠PBM.
又∵∠QNP=∠PMB=90°,
∴△QNP≌△PMB.
∴ PQ=PB.
(2)由(1)△QNP≌△PMB得NQ=MP.
∵ AP=x,∴ AM=MP=NQ=DN=x,
BM==1-x,
∴ CQ=CD-QD=1-2·x=1-x.
得S△PBC=BC·BM=×1×(1-x)=-x.
S△PCQ=CQ·PN=×(1-x)(1-x)= -x+x2.
S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=x2-x+1,即
y=x2-x+1(0≤x<).
(3)△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△=0.
②当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图2).此时,QN=PM=x,CP=-=CP=1-x.
图(2)
∴ CQ==x-(1-x)=x-1.
当-x=x-1时,得x=1.
2.(2006长沙)如图1,已知直线与抛物线交于两点.
(1)求两点的坐标;
(2)求线段的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段等长的一根橡皮筋,,动点将与构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
P
A
图2
图1
3.(2006武汉如图①,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为,直线l:与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切。问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?
A
B
O
M
C
y
x
第25题图①
A
E
O
C
y
x
第25题图②
O1
(3)如图②,过A、O、C三点作⊙O1,点E为劣弧AO上一点,连接EC、EA、EO,当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合),的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由。
4.(2006青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起(点 A与点 E 重合),已知 AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O 是△EFG 斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG 从图①的位置出发,以 1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移,在△EFG 平移的同时,点 P 从△EFG 的顶点 G 出发,以1cm/s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动,当点 P 到达点 F 时,点 P 停止运动,△EFG x(s),FG 的延长线交 AC 于 H,四边形 OAHP 的面积为 y(cm2)(不考虑点P 与G、F 重合的情况) .
(1)当 x 为何值时,OP∥AC ?
(2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并确定自变量 x 的取值范围.
(3)是否存在某一时刻,使四边形 OAHP 面积与△ABC 面积的比为 13∶24?若存在,
求出 x 的值;若不存在,说明理由.
(参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456
=, =, =)