2011年全国各地中考数学(100套真题+100套模拟)试题分类汇编第43章开放型问题.doc

2011全国各地中考数学100套真题分类汇编第43章
开放型问题
1. (2011四川宜宾,22,7分)如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);[来源:Z+xx+]
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
(22题图)
[来源:学|科|网]
【答案】解:此题为开放题,答案不惟一,只要方案设计合理,可参照给分
⑴如图,测出飞机在A处对山顶的俯角为,测出飞机在B处对山顶的俯角为,测出AB的距离为d,连接AM,BM.
⑵第一步,在中, ∴
第二步,在中, ∴
其中,解得.
(第25题解答图)
2. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,,与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,,进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究,?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
(第22题)
(1)解:过作直线平行于交,分别于点,,
则,,.
∵,∴. 2分
∴,.
∴. 4分
(2)证明:作∥交于点, 5分
则,.
∵,
∴.
∵,,
∴.∴. 7分
∴. 8分
(第22题)
3. (2011山东威海,24,11分)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=
ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
[来源:学科网ZXXK]
(1)若∠1=70°,求∠MNK的度数.[来源:Z§xx§]
(2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.[来源:Z§xx§]
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值.
(备用图)
【答案】解:∵ABCD是矩形,
∴AM∥DN,
∴∠KNM=∠1.
∵∠KMN=∠1,
∴∠KNM=∠KMN.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=70°.
∴∠MNK=40°.
(2)不能.
过M点作ME⊥DN,垂足为点E,则ME=AD=1,
由(1)知∠KNM=∠KMN.
∴MK=NK.
又MK≥ME,
∴NK≥1.
∴.
∴△MNK的面积最小值为,不可能小于.
(3)分两种情况:
情况一:将矩形纸片对折,使点B与点D重合,此时点K也与点D重合.
设MK=MD=x,则AM=5-x,由勾股定理,得
,
解得,.
即.
∴. (情况一)
情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕为AC.
设MK=AK= CK=x,则DK=5-x,同理可得
即.
∴.
∴△. (情况二)
4. (2011山东烟台,24,10分)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
A
B
C
D
E
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
【答案】(1)证明:连接AC,
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,
∴AB=BC.
(2)证明:过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形.
∴CD=EF.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF.
∴AE=BF.
∴BE=BF+EF =AE+CD.
4. (2011湖北襄阳,21,6分)
如图6,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②③;①③②;②③①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ;
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).[来源:.]
图6
【答案】(1)①②③;①③②;②③①. 3分
(2)(略) 6分
开放探究型问题[来源:Z*xx*