化归思想在数学解题中应用.doc

羄寄搞日期:2009年3月6日星期五莃本稿适合高中教师阅读中的课外园地栏目,莀联系电话:**********膅邮箱:tangguo0718@螃蒃蒇袇蒂薃袈芅薅蚂艿肇芄螂蚀蒅肃袂肁***肆袂膈羈化归思想在数学解题中的应用袅唐雯川羂四川省成都邛崃市平乐中学611539薈【摘要】根据数学问题求解中重要的化归思想,文章详细阐述了如何在数学解题中灵活运用化归思想。结果表明,只要能够进行巧妙地化归,总能快速地求解相关数学问题。莆【关键词】化归数形结合变更问题蚃引言肂在数学问题的求解过程中,有一类问题是无法直接进行求解的。一般,总是想方设法将所要求解的问题进行化归,从而将难解的问题通过变换化归为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换化归为已解决的问题。这便是化归思想。罿所谓化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时通过某种变换使之化归,进而达到解决问题的一种方法。其特点在于其高度的灵活性和多样性。它可以在宏观上进行化归,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言翻译为数学语言;也可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。还可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变换。消去法、换元法、数形结合等方法就是最常见的几种化归方法。肈在使用化归思想解决数学问题时,一般遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则。按照这些原则进行数学操作,省时省力,可以快速提高解题的水平和能力。本文着重论述等价化归、数形结合、变更问题、反证化归和换元化归思想在解题中的应用。蒂1等价化归膂等价化归是把不可解的问题化归到已有知识范围内可解的问题的一种重要方法。在解题时可以通过适当的联想,把题中的条件或结论改换成另一种等价的形式,从而明确解题方向,寻求解题途径。莀例1 中,已知:,,求三角形三边之比。薆分析:根据倍角公式和射影定理可知,在中,“”等价于“”,从而“”等价于“,”。这样,原题相当于:中,三边成等差数列,最大角与最小角的差为,求三角形三边之比。由此,通过求解三角方程,确定的大小,原题就容易解出了。蒅解:依题设有芁(1)薇由射影定理可知蒆(2)蒂比较(1)、(2)式,得蕿(3)膆根据(3)式,由正弦定理可得羄(4)膁又由三角形的性质可知,为最小角,为最大角,则虿, (5)薇将(5)式代入(4)式,可得蚆(6)芄即虿(7)羈因为为最小角,所以,即,则。肃故方程(7)等价于羂(8)蝿两边平方,整理后莈(9)螅解方程(9)取正值,得螁(10)衿从而蒅芃薀因此,三边之比为罿袆羅薃例2图1-1,三棱锥中,已知,的公垂线,求证:三棱锥的体积是肈分析:若直接求解,底、高不易求出。由于是与的公垂线,而,芇蒃知面,把三棱锥分成以,为高,为底的两个小三棱锥。莂膈蚈膅肁芈聿薃膄图1-1 芈芆莄羃莈解:连结蚇肆蚁蒈肇蒄即原题得证。蒀通过适当替换题设条件,明确了解题方向。这就表明,有目的地总结并熟悉数学中的等价关系,对于丰富解题思想是很有帮助的。薈2数形结合蒈数与形是数学中的两种表现形式,数是形的深刻描述,而形是数的直观表现。膆两者之间相互印证,不可分割。因此,在特定的条件下,数与形可以相互转换,互相渗透。“数”的问题可以化归为“形”的问题进行研究,“形”的问题也可以化归为“数”的问题进行探讨。蒃例3已知,,。试比较和的大小。蚈分析:考虑将“数”的问题向“形”的问题转化。由题设可得如下等价图示2-:图中、分别表示的长度。因为,不妨设,以,为直角边,做直角三角形,斜边,设、分别是的边上的中线和角平分线,,,所以螈薆图2-1袃例4 求函数的最大值。芁分析:将函数写为。根据解析式的特征,设计出图形如2-2,在直线的同侧取,两点,使到直线的距离,到直线的距离,且,是延长线上的一点,令,则,由这个图形可得到:,。因为,所以当点移动到与再一条直线上的点处,有最大值。腿解:由图知,当点位于点时,∽得羃薂莁莅所以螅莀蒁即当时螆膃莃蒁***函数有最大值。袅膂图2-2此时薁薈3变更问题莃有些数学问题的结构比较复杂,常常通过等价替换题设的条件或结论从而得到问题的解答。因此,解题时可以通过适当的联系,把题中的条件或结论改换成一种与它等价的形式,从而方便问题的解决。,可能会无法直接求解。但如果适当变更题设条件,就能将复杂的问题进行简化。蚅例5 设为正实数,求肅解:变更问题条件…蚀…螀