26 矩阵的秩PPT-（课件精选）.ppt

§ 矩阵的秩
一、矩阵秩的基本概念与性质
二、利用初等变换求矩阵的秩
三、矩阵秩的不等式
对于线性方程组的求解问题,除了需要研究其求解方法
一、矩阵秩的基本概念与性质
之外,更重要的是要弄清楚一个给定的线性方程组中到底有
多少个方程甚至哪些方程是真正独立的,而其它方程只是由
这些方程(线性)组合(?)出来的。
对应到线性方程组的系数矩阵或者增广矩阵上,则需要
考察矩阵的行之间有无关联,矩阵中有多少行甚至哪些行是
“独立”的,哪些行是由其它行(线性)组合出来的。
矩阵秩的概念主要回答“多少行”的问题。而下一章线性
相关与线性无关的概念主要回答“哪些行”的问题。
定义
在矩阵 A 中任取 k 行 k 列,
个元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶
行列式,
显然,矩阵的 k 阶子式共有个。
一、矩阵秩的基本概念与性质
1. k 阶子式
则是 A 的一个二阶子式。
位于这些行列交叉处的
称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。
例如
设
一、矩阵秩的基本概念与性质
1. k 阶子式
定义
换句话说,矩阵 A 的秩 r ( A ) 是 A 中不等于零的
设在矩阵 A 中有一个的 r 阶子式不等于 0 ,而所有的
r + 1 阶子式(如果存在的话) 都等于 0,
A 的秩,记作 r ( A )。
子式的最高阶数。
2. 矩阵的秩
(1) 规定零矩阵的秩等于零。
注
(2) 对于一个给定的矩阵,它的秩是惟一的。
则称 r 为矩阵
P63
定义

一、矩阵秩的基本概念与性质
1. k 阶子式
2. 矩阵的秩
3. 性质
(4) 对于 n 阶可逆矩阵 A,有
因此,可逆矩阵也称为满秩矩阵。
P63
例
求矩阵的秩。
解
首先, A 的 3 阶子式只有一个,
且
其次, 在 A 中有一个 2 阶子式
故
故 r ( B ) = 3 .
B 的唯一的最高三阶子式
解
例
求矩阵的秩。
故 r ( B ) = 1 .
B 的所有二阶子式全为零,
解
例
求矩阵的秩。
存在一阶子式不为零,
解
矩阵 B 的所有 4 阶子式全为零,
而 3 阶子式
故
矩阵 B 是一个行阶梯形矩阵,
启示
其非零行有 3 行。
解
矩阵 A 的所有 r +1 阶子式全为零,
故
而 r 阶子式
例
求矩阵的秩,其中
初等变换不改变矩阵的秩。(证明略)
二、利用初等变换求矩阵的秩
则行阶梯形
定理
方法
利用初等行变换将矩阵变成为行阶梯形,
推论
(1) 设 A 为矩阵, 为可逆矩阵,
(2) 的充要条件是存在可逆矩阵 P, Q ,使得
矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
则
P64
P65
定理