微分方程模型.doc

蒄陕西科技大学理学院袄第三章微分方程建模葿芅在许多实际问题的研究中,要直接导出变量之间的函数关系较为困难,但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易,,根据自由落体运动的重力加速度g为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、,,对这些问题,我们将分析其特征,根据具体情况进行类比,,,,在这类模型中,,在连续变量问题的研究中,§(理想单摆运动的周期)芆本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程,(图3-1)蒅从图3-1中不难看出,小球所受的合力为,根据牛顿第二定律可得:螃陕西科技大学理学院膃螈从而得出两阶微分方程:衿()()是一个两阶非线性常微分方程,,当θ很小时,有sinθ≈θ,此时,为简单起见,我们可考察()的近似线性方程:袁()罿()的特征方程为薅莃对应的特征根为,(其中i为虚单位),故()中的微分方程的通解为:薀,其中肈代入初始条件,即可求得满足初始条件的微分方程问题()的解羆θ(t)=θ0cosωt螁注意到当时,θ(t)=0,(交通管理中的黄灯问题)膈在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间的黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意,告诉他们红灯即将亮起,假如你能够停住,应当马上刹车,:黄灯应当亮多久才比较合适?蒄现在,,交警主要考虑的是机动车辆,因为只要机动车辆能停住,:,,在街道上存在着一条无形的线,(见图3-2),从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关,法定速度越大,,,等于此距离时可以停车也可以通过路口(注:此街道的法定速度由另一问题讨论,制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用).对羁于那些已经过线而无法停住的车辆,(图3-2)芅根据上述分析,我们确定了求解这一问题的步骤如下:(即停车线到街口的距离)(停车线的确定)袂要确定停车线位置应当考虑到两点:(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间,在这段时间里,驾驶员尚未刹车.(2)驾驶员刹车后,车还需要继续行驶一段距离,(实际为平均反应时间)较易得到,可以根据经验或者统计数据求出,交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试).例如,不失一般性,我们可以假设它为1秒,(反应时间的长短并不影响到计算方法).薈停车时,驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,,刹车摩擦系数为,为刹车后在t时刻内行驶的距离,更久刹车规律,可假设刹车制动力为(为重力加速度).由牛顿第二定律,刹车过程中车辆应满足下列运动方程袃()芀在方程()两边同除以m并积分一次,并注意到当t=0时=,得到薀()蚈刹车时间可这样求得,当时,,故芄肂将()再积分一次,得艿螇将代入,即可求得停车距离为蚅蒀据此可知,停车线到路口的距离应为:肈螇等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程,(黄灯时间的计算),(D很容易测得),平均车身长度为l,这些车辆应通过的路程最长可达到,因而,为保证过线的车辆全部顺利通过,黄灯