§1.3 矢量场的通量及散度内容.pptx

§、矢量场定义及图示对于空间区域V内的任意一点r,若有一个矢量F(r)与之对应,我们就称这个矢量函数F(r)是定义于V的矢量场。恒稳矢量场F(r),时变矢量场F(r,t)。矢量场图--矢量线其方程为矢量线的示意图F线Fdl矢量线F(x,y,z)=Fx(x,y,z)ex+Fy(x,y,z)ey+Fz(x,y,z)ez(FydzFzdy)ex+(FzdxFxd)ey+(FxdyFydx)ez=0FydzFzdy=0FzdxFxdz=0FxdyFydx=0或得直角坐标的矢量线方程矢量场的直角坐标式为矢量F沿有向曲面S的面积分2、通量矢量F在面元dS的面积分为d=Fnds=FcosdS=F‧dS矢量场的通量若S为闭合曲面,可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的闭合面通量在直角坐标系中,设F(x,y,z)=Fx(x,y,z)ex+Fy(x,y,z)ey+Fz(x,y,z)ezds=dydzex+dxdzey+dxdyez则通量可写成如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在,我们就将它定义为P点处F(r)的散度(divergence),记作3散度求边长分别为x、y、z的小平行六面体的通量,其体积V=xyz。根据泰勒极数可知acbFx(x+x,y,z)Fy(x,y+y,z)Fz(x,y,z+z)xyzoxyz(x,y,z)Fx(x,y,z)Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)直角坐标的微分体积或写成即得acbFx(x+x,y,z)Fy(x,y+y,z)Fz(x,y,z+z)xyzoxyz(x,y,z)Fx(x,y,z)Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)直角坐标的微分体积4、散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性•F=0(无源)•F=0(负源)•F=0(正源)矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数;5、散度运算的几个基本关系式相对坐标矢量函数相对位置矢量标量场f(r)和矢量场F(r)之积fFR及其模R证明:设f(r)=f(x,y,z),F(x,y,z)=Fx(x,y,z)ex+Fy(x,y,z)ey+Fz(x,y,z)ez则