线性方程组直接法（2）.pdf

第二章解线性方程组的直接法
§ Gauss列主元消去法
§ Gauss列主元消去法
一、Gauss列主元消去法的引入
例1. 用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮
点数计算)
ì + x = 1
í 1 2
î x1 + x2 = 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* = (,)T
用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)
主元
æ 1 1ö
A = (A,b) = ç ÷
è 1 1 2ø 9999
æ 1 1 ö
m21=10000 ç ÷
¾¾¾¾® ç 4 4 ÷
è 0 ­ ´10 ­ ´10 ø
回代后得到 x1 = , x2 =
与精确解相比,该结果相当糟糕
究其原因,
如果在求解时将1,2行交换,即
æ 1 1 2ö
A = (A,b) ® ç ÷
è 1 1ø

m = æ1 1 2 ö
¾¾21 ¾¾® ç ÷
è0 ø
回代后得到
x1 = , x2 =
这是一个相当不错的结果
例2. 解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)
æ10­8 2 3 öæ x ö æ 1ö
ç ÷ç 1 ÷ ç ÷
ç ­ 1 ÷ç x2 ÷ = ç 2÷
ç ÷ç ÷ ç ÷
è ­ 2 øè x3 ø è 3ø
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有
小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
­8
æ10 2 3 1ö ­8
ç ÷ 10 很小,绝对值最大
的列元素为
A = (A,b) = ç ­ 1 2÷ a13 = ­2,
ç ÷ 因此1,3行交换
è ­ 2 3ø
= (A(1) ,b(1) )
æ ­ 2 3ö
r Ûr ç ÷
¾¾1 ¾3 ® ç ­ 1 2÷ 绝对值最大
ç ­8 ÷ 不需换行
è10 2 3 1ø
m = æ ­ 2 3 ö
21 ç ÷
m =­ ´ ­8
¾¾31 ¾¾10¾® ç 0 ´ 10 ´10 ÷
ç ÷
è 0 ´ 10 ´ 10 ´10ø
(2) (2)
m = = (A ,b )
¾¾32 ¾¾722¾¾92®
æ­ 2 3 ö
ç ÷
ç 0 ´ 10 ´10 ÷
ç ÷
è 0 0 555 41´ 10 138 54ø
= (A(3) ,b(3) )
经过回代后可得
(3)
b3 138 54
x3 = = = 257 39
a(3) 555 41´10
33
(2) (2)
b ­ a x ­ ´10´ x3
x = 2 23 3 = = ­
2 (2) ´10
a22
(1) (1) (1)
b1 ­ a12 x2 ­ a13 x3
x1 = (1) = ­
a11
事实上,方程组的准确解为
x* = (­,­,)T
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行
避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
二、Gauss消元过程与系数矩阵的分解

æa(1) a(1) L a(1) b(1) ö
ç 11 12 1n 1 ÷
a(1) a(1) L a(1) b(1)
(A(1) ,b(1) ) = ç 21 22 2n 2 ÷
ç M M M M ÷
行变换相
ç (1) (1) (1) (1) ÷
èan1 an2 L ann bn ø 当于左乘
初等矩阵
(1)
ai1
由于 mi1 = (1) i = 2,3,L,n
a11
æ 1 ö
ç ÷