(点集拓扑学拓扑)知识点.doc

第4章连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质,包括连通性,局部连通性和弧连通性,.§:?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。(0,l)和[1,2),尽管它们互不相交,但它们的并(0,1)U[l,2)=(0,2)却是一个“整体”;而另外两个区间(0,1)和(1,2),它们的并(0,1)U(1,2)是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于,对于前一种情形,区间(0,l)有一个凝聚点1在[1,2)中;而对于后一种情形,,,定义中的条件等价于和同时成立,也就是说,,在实数空间R中,子集(0,1)和(1,2)是隔离的,而子集(0,l)和[1,2),易见,平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的,=A∪B,则称X是一个不连通空间;否则,,包含着多于两个点的离散空间是不连通空间,:(l)X是一个不连通空间;(2)X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B=X成立;(3)X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B=X成立;(4)(l)蕴涵(2):设(1)∪B=X,显然A∩B=,并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集;(2)中的要求.(2)蕴涵(3).如果X的子集A和B满足条件(2)中的要求,所以A、B为闭集,则由于这时有A=B/和B=,因此A、B也是开集,所以A和B也满足条件(3)中的要求.(3)蕴涵(4).如果X的子集A和B满足条件(3)中的要求,所以A、B是开集,则由A=和B=易见A和B都是X中的闭集,因此A、B是X中既开又闭的真(∵A、B≠,A∪B=X,∴A、B≠X)子集,所以条件(4)成立.(4)蕴涵(l).=.则A和B都是X中的非空的闭子集,它们是无交的并且使得A∪B=(因为闭集的闭包仍为自己).因此(l)∈R-Q,集合(-∞,r)∩Q=(-∞,r]∩,在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B=∈A和b∈B,不失一般性可设a<=A∩[a,b],和=B∩[a,b].于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得∩=和∪=[a,b],故有上确界,,所以∈,并且因此可见<b,因为=b将导致b∈∩,而这与∩=(,b].由于是一个闭集,所以∈.这又导致∈∩,也与∩=,则称Y是X的一个连通子集;否则,,按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.).因此,如果,,A,,Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B=Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B=,则或者YA,,则这说明A∩Y和B∩(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=,集合A∩Y和B∩Y中必