巧用S△公式解例说.doc

羄巧用S△公式解题例说芃荿一、巧用面积比芈我们知道:S△=ah,由此公式可知:肄a、等(同)底等(同)高的三角形面积相等;莀b、同(等)底三角形的面积比等于对应高之比;肁c、同(等)高的三角形的面积比等于对应底之比。肇对于相似三角形,我们还有:相似三角形的面积比等于相似比的平方。膄利用这些面积关系解题,具有直观、简便、灵活、新颖的特点,试看几例:螁例1已知:如图1,BD⊥AC,CE⊥蕿AB,且CE=BD。求证:AB=AC。袆证明:∵S△CAB=S△BAC,芄即AB•CE=AC•BD,膂又∵CE=BD,∴AB=AC。芀评议:例1,一般先用全等三角形知识求证,也可用四点共圆求证,但用S△公式求证再简单不过了,很好。薄例2如图2,AD是△ABC的角平分线。求证:=。莄证明:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。薂∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,螈∴(1)蚇又∵△ABD与△ACD同高,蒄∴(2)蝿由(1)、(2)得,=。蒀评议:例2的结论就是重要的三角形内角平分线性质定理。传统证法是利用等腰三角形性质、平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识求证,所用知识较多,而上述证法,所用知识单一,证明过程简捷,较优。莆思考:请用S△面积法证明平分线分线段成比例定理(即如图3,l1∥l2∥l3,求证:=)。薄二、巧用面积和膀关于图形面积,我们有:一个图形的面积等于它的各部分面积之和。巧妙地利用这一性质解题,往往能起到化繁为简,化难为易的效果。袈例3如图4,正方形PQRT内接于△ABC,已知△ATR,△BTP,△CQR的面积分别为S1=1,S2=3,S3=1,那么正方形PQRT的边长是()。膅A、B、C、2D、3薃解:设正方形PQRT的边长为x,作△ABC的高AD,交RT于E。薁在△ATR中,由S1=RT•AE,得AE==。蚀同理,BP=,QC=。芈∴S△ABC=BC•AD=(+x+)(+x)=(x2+10+),蚃同时S△ABC=S1+S2+S3+S正方形PQRT=5+x2,羂∴(x2+10+)=5+x2,x4=16,x=2。肈故选C。羇三、巧用S△公式的不同表达形式螃常见的三角形面积公式有:莃a、S△ABC=ah;螀b、S△ABC=(a+b+c)•r=(其中r、R分别为△ABC的内切圆、外接圆半径);螆c、S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB。袃在几何证明中可利用这些公式作为桥梁,使证明转化为量的计算,从而找到证题的方法。蒀例4已知△ABC中,三边上的高分别为ha,hb,hc,内切圆半径为r,且ha+hb+hc=9r。求证:△ABC为等边三角形。芇分析:已知是三角形的三条高与内切圆半径的关系,结论是证△ABC为等边三角形,即证三边相等。联想到三角形面积与内切圆半径和高均有关系,所以用三角形面积作为桥梁能使已知和结论之间产生联系。薅破题思路:∵S△ABC=aha=bhb=chc,羃∴ha+hb+hc=2S△ABC(++)=9r。袁又∵S△ABC=(a+b+c)r,罿∴(a+b+c)(++)r=9r,薈∴+++++-6=0,肃即(-)2+(-)2+(-)2=0,芁=且=且=a=b=c。蒇∴△ABC为等边三角形。莆例5如图5,已知△ABC中,∠ACB=90゜,CD是高,CE是角平分线,AC=6,BC=8,求CD、CE的长。膃分析:例5本可以用射影定理求解,但用