数学奥赛教练员培训班讲义(平面几何).doc

第一讲平面几何平面几何是数学竞赛中的一个基本内容。它以严密的逻辑结构、灵活的证题方法,在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力等方面起着特殊的作用。因此在数学竞赛中平面几何的内容占有十分突出的地位。平面几何主要研究度量关系的证明、位置关系的证明、面积关系解题、几何量的计算、轨迹问题等。一、△ABC的边BC、CA、AB(或其延长线)于D、E、F,则。说明:(1)结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况,因而本题图形应该有两个。(2)结论的结构是三角形三边上的6条线段的比,首尾相连,组成一个比值为1的等式。(3)其逆定理为:如果D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB(或其延长线上),并且,那么D、E、F三点在同一条直线上。(4)梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题,而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键,在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于D,E,F,则。说明:(1)该定理可借助于梅氏定理来证明(也可用面积法来证明)。如果O点在三角形外,结论仍然是成立的。(2)其逆定理为:分别在△ABC三边(所在直线)BC、CA、AB上各取一点D、E、F,若有,则AD、BE、CF平行或共点。(3)塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点(线共点)问题的重要定理,应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。,三条角平分线共点,三条高线共点,三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线(欧拉线),并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离。此公式称为欧拉式,由此还得到。当且仅当△ABC为正三角形时,d=0,此时R=。与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。二、(1)若∠1=∠2,则A、B、C、D四点共圆;(2)若∠EAB=∠BCD,则A、B、C、D四点共圆;(3)若PA•PC=PB•PD,则A、B、C、D四点共圆;(4)若AB•DC+AD•BC=AC•BD,则A、B、C、D四点共圆。,则三垂足共线(称为西姆松线)。说明:(1)其逆定理为:若一点到三角形三边所在直线的垂足共线,则该点在三角形的外接圆上。(2)推广(卡诺定理):通过△ABC外接圆上的一点P引与三边BC、CA、AB分别成同向等角的直线PD、PE、PF,分别与三边交于D、E、F,则D、E、F三点共线。,则该四边形的两对边乘积之和等于它的对角线乘积。说明:(1)其逆定理为:若四边形两对边乘积之和等于它的对角线乘积,则该四边形内接于圆。(2)推广(托勒密不等式):对于任意凸四边形ABCD,恒有两对边乘积之和大于或等于它的对角线乘积。三、△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA到D,以AD为直径作圆O,边BD与圆O交于点E,连CE,CE的延长线交圆O于另一点F,那么=().(08年联赛)如图,设,,为三角形的三条高,若,,,则线段的长为().4.