粘性流体动力学基本方程组.doc

,即质量守恒定律,动量守恒定律和能量守恒定律。这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。但这个方程组是不封闭的,要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。一般情况下,现在还求不出这个方程组的解析解,但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义,因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。莈粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。蚃对流体运动的描述有两种方法,即拉格朗日法和欧拉法;对基本定理的数学表述也有两种方法,即积分形式和微分形式。本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。——连续方程蒈连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。由于不涉及力的问题,因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同,在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。肄考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。根据质量守恒定律,单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量的散度,它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量:袂()腿展开后得:薈()薅连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。莀对于定常流,此式可变为:羈()蚈()羆对于不可压缩流,()式变为:肂羁即=0()螇由张量分析的知识可知,是应变量张量的主对角线上三元素之和,恒为常数,表示微元体的体积变化率。式()表示总的体积变化率为零,与流体的不可压缩一致。——运动方程螀粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述,可由牛顿第二定律推出。以微元体为分析对象则可表述为:在惯性系中,流体微元体的质量和加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。对于流体运动应考虑两类外力:一为彻体力(用来表示),它是作用在微元体上所有质量上的力,如重力;另一类为表面力(用来表示),它是作用在微元体界面上的力,如压力、摩擦力等。运动方程可写成如下向量形式:袇()蒄其中微分符号节()葿称为物质导数或随体导数,它所代表的是微团的某性质对时间的变化率。例如,是该微团的速度随时间的变化率,即加速度,亦即羇()袅从欧拉法的观点看,此式右端第一项由流动的非定常性引起,称为当地加速度;右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起,表示经时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化,称为迁移加速度。羄式()中的彻体力可表示成:芈()羇在这里彻体力可以看成是已知的外力,而表面力则和流体速度场的变形情况有关。它决定了流体的应力状态。所以我们分别研究流体的应力和应变变化率后,将建立它们之间的关系。芆为了写出表面力的式子,我们从流体中取出正六面微元体(图5-1)。它的左下方的点的坐标为(x,y,z)。对于垂直于x轴的两个微元面上分别作用了如下的合应力(应力即单位面积上的作用力):和莁芁图5-1微元体的应力张量肇这里的注足x表示x方向上的应力向量,则作用在垂直于x轴的微元面上的应力的合力为:莂()肃同样可得作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的应力的合力分别为:聿,***于是可得作用于单位容积的表面力的合力向量为螃()薁式中,和都是向量,还可以把它们沿三个坐标方向分解,即分解为正应力和平行于各微元面的切应力。例如,作用于与x轴垂直的微元面上的应力可分解为(图5-1):袈()芇同理有()膄()芃式中注足是这样规定的:正应力的注足代表应力的方向,切向力的第一个注足代表与切应力所在平面垂直的方向,第二个注足代表切应力的方向。例如,表示作用在与x轴垂直的平面上沿y向的切应力。由式()可见,要完全描述微元体上应力需要九个标量。这九个标量就组成了应力张量,表示为袁()莇容易证明这个张量是对称的,由式(),()和()可写出如下的单位容积的表面力公式。薅x方向分量螁y方向分量()蚀蒆羆yz蒃面荿上薆的膃量袁膈xy薆面薄上蚃的芁量蚆羅zx肀面羀上螆的莆量z方向分量螂螈袆螆芀螁羆袃羂将()式代入()式则得:薀()肆此方程是牛顿第二定律的严格表述,没有任何假设。将广义牛顿粘性应力公式:芄()蚄代入()式,并运用张量分析中有关应力张量公式和应变变化公式,可得到:荿()膅或蚅()膂展开得:肈()膅()肆()