飞机卖票问题模型.docx

蒆袄芅一架飞机从一个城市飞行到另一个城市是有成本的,有飞机本身的维护费用,工作人员的工作薪酬以及飞机的燃油费等,有些费用会随乘客的增加而增加,但是有些不会,这里我们设定其成本为:莁羂芀y=ax+b薇芇虿其中y表示整个飞机飞行的成本;肄蒈芄x表示实际飞机乘客的人数。虿莅莅对于航空公司来说,每个乘客都会给飞机带来相同的利润(我们假设飞机只有一种机舱)。蒄艿蚀s=cx蒆蒃肇其中s表示毛利润;羃罿芇c表示每个乘客付给公司的费用。蒇袆蒅对于航空公司来说,利润最大化是他们的目的,而在实际的运行中,由于实际中c>a,即飞机上每多一个人给公司带来的利润大于多这个人带来的成本,故而在飞机运行中,公司会让飞机载最多的人,尽可能是满载,即实际乘客数等于飞机能载的最大人数。设对应量飞机所能承受的最大人数为A。然而在实际中,会存在乘客买了票,但是由于某些原因没有按时乘飞机的情况,这种误机的情况如果不考虑在内,则会给公司的盈利带来一部分损失,为了弥补这部分损失,公司应该不这部分也计算在内,故而引入误机人数变量k,误机率称为Pk,这里假设每位乘客的误机是随机的,莃蚀肁Pk=k*x蕿羄蝿则公司盈利s为:螂蒀肆s=x*c-(ax+b)m<=A莆芇蒅s=A*c-(ax+b)m>A膁膀蒂此时公司的总盈利为莈莅芇袅羁袅葿薃薄K为实际误机人数莄蚁袃芆肄罿若未坐满时,飞机损失的费用则为羁虿袈f1=(m-a)*c蒅节蚄s=c*x*(1-Pk)-(a*x+b)莁莀羀故s随x变化图为:薇薄蚁螀膀蚇莄蚃螄我们假设票可以被订满的情况下则艿薆莁s=c*A*(1-Pk)蒆螁腿此时公司的总盈利为虿莇蒆s=c*A*(1-Pk)-(a*A+b)蒇膃袄此时的利润是最大的。莂肇螂若未坐满时,飞机损失的费用则为芄节袁f1=(m-a)*c螂袇膅由于Pk是乘客控制的,航空公司无法控制,所以只能采取弥补的措施去弥补这部分亏空。莆蚄羄假设超额卖出m张票,即使这样飞机还有可能坐不满,也还有可能实际到的乘客数超出了满级的满载人数A,对于来到机舱但是却没有乘到飞机的人来说,因为是航空公司的原因导致乘客无法按时登机,故而航空公司会付给没乘到飞机的乘客一部分损失,而这部分钱会减少公司的盈利,故而我们应该在模型中反映出来这个现象,膁薈膃f2=c2*x1莇螃莈设f2为赔付给顾客的钱蚀莈芈设c2为支付给每位误机乘客的单价膄膅肄设x1为误机的乘客数肀聿荿而芆芃肀x1=(m+A)*Pk葿蝿羆此时芇莂肄 f2=c2*(m+A)*Pk膂蕿螀所以随着超额订票的张数增多,公司补偿给未登机乘客的钱数就越多。肅螄蒈因此,如果m值变小,飞机上存在空座的可能性会增大,飞机盈利的期望就会变小,而增大时,飞机上满座后付给未到乘客的赔偿费用会增多,所以我们应该找个合适的值。薂芀螅在图形中表示f1,f2随m值变化是图像如下:膆袂膄肁螆膁芇芅膀蒁蒆螈到此为止肅莃芃我们无非想知道怎么设定能收益最大,这个值受到如下若干参数的影响:袀芇薂m:航班起飞前订票的人数肆蒂蚈A+m荿羇薇C:常数,航班飞机实有的座位数***袄莃A1蝿螈羃p:常数,机票价格,这里假设只有一种舱位,单一票价模型羅羂莀c蒂蒈莆b:常数,DB发生时,拒绝一名旅客登机给航空公司造成的损失羆莅蒃f1袁芈肀r:随机变量,起飞时顾客到达率螄蒃袈Pk芁罿肅f(r):顾客到达率的概率密度函数;袅薁薃螀蝿蒁k:常数,航班一次飞行的总成本袆羄薀y腿蒀膈e:航班一次飞行的总收益蚄肂薃据此我们写出超售的收益表达式:蕿膀袂e=c*min((A+m)*PK,A)-f1*max((A+m)*PK,A)+f1*A-(ax+b)螅蒅羇其中节蚆袇袆薃蚃蚂蒇节蚄蚁蒁则收益e的期望E为:膁***蒈蚅肄薅因为我们要考虑如何取m使得收益最大,于是期望收益E对m求导,就得到:薀羇蒆螇膂罿也就是说,要使收益期望E达到最大值,A1/(A+m)的取值需要让方程两边的积分相等。如图所示就是p(单张机票价格)乘上R 1 部分的面积等于b(赔付一名旅客所需费用)乘上R2 部分的面积。羀蚈蒀薄蒄蚅如果p增加,要保持等式PR 1 =bR 2 成立,则R 1 就要变小,也就是说c/m的值向左偏荿莈薂薅蚃蚁肃膈艿蚇螁螅薂衿羃蒄肄莃羁虿肈蒅节袅莁莀莄薇薄袁螀膀袇莄蚃羄艿薆螅蒆螁薃虿莇袀蒇