2、圆内接四边形性质定理.doc

如右图:圆内接四边形ABCD,圆心为O,延长BC至E,AC、BD交于P,则:圆内接四边形的对角互补:∠ABC+∠ADC=180°,∠BCD+∠BAD=180°圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠DCE=∠BAD圆内接四边形对应三角形相似:△BCP∽△ADP相交弦定理:AP×CP=BP×DP托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明(三种方法)【证明】方法一:利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABD·Oαβ如图,连接OB、OD则∠A=β,∠C=α∵α+β=360°∴∠A+∠C=×360°=180°同理得∠B+∠D=180°(也可利用四边形内角和等于360°)【证明】方法二:利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD证明:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°连接BO并延长,交⊙O于E。连接AE、CE。则BE为⊙O的直径∴∠BAE=∠BCE=90°∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180°即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE(同弧所对的圆周角相等)∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180°即∠BAD+∠BCD=180°∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°(四边形内角和等于360°)【证明】方法三:A·OBCD12435678利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD,将∠A、∠B、∠C、∠D分为八个角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360(四边形内角和为360°)∠4=∠1,∠7=∠2,∠8=∠5,∠3=∠6(同弧所对的圆周角相等)∴∠1+∠2+∠5+∠6=×360°=180°∵∠1+∠2=∠A∠5+∠6=∠C∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°(四边形内角和等于360°)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明CD·OBAEP如图,求证:∠DCE=∠BAD∠BCD+∠DCE=180°(平角为180°)∠BCD+∠BAD=180°(圆内接四边形的对角互补)∴∠DCE=∠BAD圆内接四边形对应三角形相似如上图,求证:△BCP∽△ADP,△ABP∽△DCP证明:∵∠CBP=∠DAP,∠BCP=∠ADP(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。)又∵∠APD=∠BPC(对顶角相等)∴△BCP∽△ADP∵∠BAP=∠CDP,∠ABP=∠DCP(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。)又∵∠APB=∠DPC(对顶角相等)∴△ABP∽△DCP相交弦定理仍用上图,求证:AP×CP=BP×DP证明:∵△BCP∽△ADP(圆内接四边形对应三角形相似)∴(相似三角形的三边对应成比例)∴AP×CP=BP×DPCD·OBAEP托勒密定理求证:如图,四边形ABCD内接于圆O,那么AB×CD+AD×BC=AC×BD【证明】方法一:作辅助线AE,使∠BAE=∠CAD,交BD于点E∵∠ABE=∠ACD(同弧AD所对的圆周角相等)BACE·OD又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴,即AB×CD=AC×BE(1)∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BA