函数项级数一致收敛判别.doc

定义设是定义在数集E上的一个函数列表达式:(1)称为定义在E上的函数项级数,(1):(2)收敛,即部分和,当时,极限存在,则称级数(1)在点收敛,(1)在D上的每一点与其所对应的数项级数(2)的和构成一个定义在D上的函数称为级数(1)的和函数,(函数项级数一致收敛的定义)设函数级数在区间收敛于和函数,若有:(其中)...对,,存在,有:(其中),若,,有:,,有:.,不论给定的以曲线为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数(通用的),,任意一个部分和的图像都位于这个带形区间内(如图1).若函数项级数在某个区间不存在通用的,(确界判别法)函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件:.证明():.从而,即.()已知,. ;...(柯西一致收敛准则)函数级数在区间一致收敛有:.,:已知,有:所以当时上述不等式有:,要使不等式成立,从不等式解得取于是,有,(M判别法)有函数项级数,是区间,若存在收敛的正项级数,有,,即,有由已知条件,,,,:,有所以,,,凡能用判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,(狄利克雷判别法)若级数满足如下条件:(1)函数列对每个是单调的且在区间一致收敛于0.(2)函数级数的部分和函数列在区间一致有界,,,。即,有,从而有根据阿贝尔变换,有于是,,而数列单调减少趋近于0。(当然在也是一致收敛于0)根据狄利克雷判别法,:(1)函数列对每个是单调的且在区间一致有界.(2)函数项级数在区间一致收敛,,已知它在区间一致有界,即,有,有从而,,有由阿贝尔变换,,函数级数=(是常数).,,即存在,,有根据阿贝尔判别法, 若函数项级数在区间一致收敛,,由柯西一致收敛准则,有:于是再根据柯西一致收敛准则,