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数值分析教学大纲一、说明(一)课程性质人类数学能力的提高与采用的手段是分不开的。作为当今科学研究的三种基本手段之一的科学计算就是其中一个很好的例子。科学计算是为各种科学与工程问题的计算机求解进行算法设计与分析所进行的研究。随着计算机科学技术的进步,人们越来越依赖于用计算机解决问题,从而科学计算的用处也越来越大。有些发达国家甚至把它作为衡量国家综合实力的一个重要方面,从而大力推动其发展。计算机解题过程实质上就是实施某种计算机算法。程序实际上就是为了用计算机解决问题所进行的对算法的一种描述,但算法并不等于程序。实质上,程序=算法+数据结构+程序设计方法+语言工具和环境算法、数据结构、程序设计方法和语言环境四个方面的知识构成了一个程序设计人员应具备的基本素质。算法是程序的灵魂,解决“做什么”和“如何做”的问题。不了解算法就谈不上程序设计,程序设计的质量一般不可能优于算法的设计。著名计算机科学家、程序设计的权威Knuth就明确指出:“计算机科学就是关于算法的学问。”计算机算法一般可分为两大类:数值运算算法和非数值运算算法。本课程集中介绍科学计算中最基本的数值运算算法。学****数值分析这门课程的学生在将来的工作中将可能以科学计算为工具解决具体问题,他们的学****目标是“使用”算法:从许多成熟的科学计算方法及相应的计算机软件中,根据实际问题的需要,选择相适应的方法,或者改进和构造新的数值算法,以弥补现有算法的不足。本课程旨在帮助他们理解科学计算方法如何工作及有何限制。(二)教学目的科学计算与理论分析、实验手段一起,已成为人类探索未知科学和进行大型工程设计的三种方法和手段。在独创性研究工作的先行性研究中,科学计算更具有突出的作用。科学计算能力是21世纪人才不可或缺的。数值分析课程在培养学生科学计算能力上具有不可替代的作用。因此本课程主要介绍数值分析方面的基础知识及常用的数值计算方法,目的是让计算机科学的学生了解数值计算的重要性,加强他们的数学理论基础,培养他们“使用”算法、实际处理数值计算问题的能力。(三)教学内容本课程包括六个部分的内容:0、科学计算引论:何为科学计算,科学计算中的误差,计算机数学,算法1、线性方程组的数值算法----直接法和迭代法2、非线性方程组的迭代法:迭代原理,二分法,牛顿法,弦截法3、数值逼近(曲线拟合):拉格朗日插值,牛顿插值,分段插值,样条插值4、数值微积分:机械求积,牛顿-柯特斯公式,龙贝格公式,高斯公式,数值微分5、常微分方程初值问题的数值解法:欧拉法,龙格-库塔法,线性多步法先行课程:高等数学,线性代数,计算机程序设计语言。(四)教学时数本课程3学分,计划课堂教学总时数为54学时。(五)教学方式本课程采用以多媒体教学手段为主,黑板板书为辅的教学形式,充分发挥多媒体教学手段信息量大、板书分析细致等特点。布置作业时,鼓励学生采用高级编程语言和数学工具软件(如MatLab,C++,VB,Maple等)实现各种算法。这样可以激发学生的学****兴趣,使他们能更好地把握各种算法的应用范围和使用要求,理解算法建立的数学背景、原理和基本线索,牢记最基本的算法,熟悉公式的运用,从而达到消化、掌握所学知识的目的。这也是任何数学课所必须要求的。因此独立完成作业也是学好本课程的重要手段。二、正文科学计算引论教学时数:4学时。教学内容:说明本课程的性质、何为科学计算、科学计算的意义、计算机数学的特点、科学计算中的误差、误差及其传播、算法是什么、数值计算中应注意的问题、本课程的主要参考书学生应了解本节内容。第一章线性方程组的数值解法教学要点:向量和矩阵的范数,高斯消去法,三角分解法,追赶法,平方根法,Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法, 向量和矩阵的范数教学时数:2学时。教学内容:向量范数的定义、三种常用向量范数矩阵范数的概念、由向量范数导出的三种矩阵范数学生应熟练掌握本节内容。:2学时。教学内容:高斯消去法的消元过程、回代过程按列选主元素高斯消去法高斯消去法的计算复杂性学生应熟练掌握和应用本节内容。:2学时。教学内容:对角占优矩阵和对角占优方程组三角分解法三角分解法的计算复杂性学生应熟练掌握本节内容。:1学时。教学内容:三对角矩阵和三对角方程组追赶法学生应熟练掌握本节内容。:1学时。教学内容:正定对称矩阵和正定对称方程组平方根法改进的平方根法(Cholesky分解)学生应熟练掌握和应用本节内容。:3学时。教学内容:迭代公式的一般形式Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法SOR(超松驰)迭代法迭代过程的收敛性学生应熟练掌握和应用本节内容。:1学时。教学内容:病态方程组矩阵的条