数学基础练习题.doc

(1)已知;画出的草图。(2)当时;证明(3)求函数的反函数。(4)已知;求(5)(6);求(7)(8)(9)(10)(11)(1)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21);(22)(23);(24)(25)(26);(27);(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34);表示不超过最大整数。(35)试将方程化为极坐标的形式。(36)已知;求(37)已知;且。证明存在并求其值。(38)若;;。;,证明。(39);(n重根号)。试求(40)(41)设为一可微函数,且;求(42)求空间曲线在处的切线方程和法平面。(43)讨论反常积分的敛散性。(44)讨论反常积分;的敛散性。(45);为自然数。(46)设;求(a),(b)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)已知,计算反常积分(55);(56)求;(57)求证;并计算积分(58)设为上的连续函数,令。(1)求证;并计算(59)有一个向量场,其中。设为任意一封闭曲面;则(60)设有力场,求单位质量M,沿椭球圆移动一周(从z轴正向看去为逆时针方向)力所做的功。(61);为所围成的封闭体积。(62);(63);(64);(65);(66);,曲线的方向从z轴上方向下看是顺时针方向。(67)均匀薄板;对于轴上的任意一点;处的单位质量的引力。(68)均匀柱体;对于点,处的单位质量的引力。(69)设有一椭球为,计算该椭球对轴上任意一质点的引力。(70)试计算任意两个带电物体之间的库伦引力(假设电荷连续分布)。(71)计算螺线对轴的转动惯量(72)计算椭球分别绕;;轴转动时的转动惯量;;(73)以表示椭球的上半部分,表示的外法线的方向余弦,求曲线积分(74)将展成幂级数(75)将按展成幂级数(76)将展成幂级数(77)将展成幂级数(78)求级数的和函数(79)求级数的和函数(80)求级数的和函数(81)求解常微分方程组的解(82)设;在上连续,已知方程组所对应的次方程组的一基本解组为;;。试求所给方程组的通解及满足初值条件的特解。(83)试求方程组的一个基解矩阵,并计算。其中(84)试求下列(a)、(b)两种情况方程组的解。其中(a);;,(b);;。(85)求解高维波动方程的cathy问题(86)求孤立子。(提示:令则且,)(87)求解定解问题:(88)在区域内具有一阶连续偏导数,试证明:(a)(b)(89)假设随机变量;分别求;(90)求解方程;其中的非负整数解个数。(91)现在有一座十层楼的宿舍,每层有10000个编了号的房间,宿舍内共住100人,每层分住10人。(a)不考虑这100个人的姓名,每间房所住人数不限,有多少种住法?(b)不考虑这100个人的姓名,每间房至多只能住一个人,有多少种住法?(c)考虑这100个人的姓名,上述两种情况的住法如何修正?(d)比较分析(a)与(b)的两种住法。(92)设有5个穿绿色、3个穿灰色、2个穿蓝色制服的军官一起列队。(a)试问有多少种队形?(b)现在穿绿制服的有3种肩章,并任取一种佩戴,穿灰色的可有2种肩章,穿蓝色的可有4种肩章,试问有多少种队形?(93)假设把某地区的天气划分为:晴、阴、雨三种状态,若今天晴,则明天晴、阴、雨的概率分别是。如果今天阴,则明天晴、阴、雨的概率分别是。而今天雨,则明天晴、阴、雨的概率分别是。如果上述的划分情况一直正确,那么如果今天下雨,则一百天后天气情况如何?若果今天是晴,又如何?(94)设和满足条件(1)。(2)则有:(95)已知:试求:???(96)试确定的值,使(97)试求所有整数,使在有理数域上可约。(98)已知;,试求商和余式。(99)设方阵满足条件,证明和都可逆,并求和。(100)求解线性方程组的基础解系,并表示其通解。(101)如果,证明:当且仅当。(102)设、满足,其中为三阶单位矩阵,是的伴随矩阵,求(103)设求(104)设,其中为四阶单位矩阵,是的转置矩阵。求矩阵(105)设求(106)已知二次型的秩为2。(a)求参数及此二次型矩阵的特征值。(b)指出方程表示何种曲面?(107)已知二次型通过正交变换化为标准型,求参数及所用的正交变换矩阵。(108)讨论二次型在什么条件下是正定的?(109)设是以为周期的连续函数,并且其傅里叶系数为,。(a)求的傅里叶系数,。(b)利用(a)的结果证明:。(110)设且,求,。(111)已知三阶矩阵与三维向量使得向量组、、线性无关,且满足。(a)记,求三阶矩阵,使。(b)计算行列式。(112)证明:阶实对称矩阵正定的充要条件是可逆矩阵,使得:。(113)已知、均为阶正定矩阵。证明:的特征值全大于零,当时,为正定矩阵。(114)验证函数()满足微分方程(b)利用(a)的结果求幂级数的和函数