数学竞赛大纲.doc

一、函数、极限、连续 、简单应用问题的函数关系的建立. :有界性、单调性、周期性和奇偶性. 、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 、函数的左极限与右极限. 、无穷小的性质及无穷小的比较. 、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. (含左连续与右连续)、函数间断点的类型. . (有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. ,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. (L’Hospital)法则与求未定式极限. 、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. . 、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 . 、基本积分公式. 、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. . 、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. . :平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值. :微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. 、可降阶的高阶微分方程:. . 、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. :自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积 (Euler)方程. 、向量代数和空间解析几何 、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 、平行的条件、两向量的夹角. 、单位向量、方向数与方向余弦. 、平面方程、直线方程. 、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离. 、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. 、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学 、二元函数的几何意义. 、有界闭区域上多元连续函数的性质. 、全微分存在的必要条件和充分条件. 、隐函数的求导法. 、方向导数和梯度. 、曲面的切平面和法线. . 、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学 、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 、性质及计算、两类曲线积分的关系. (Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数. 、性质及计算、两类曲面积分的关系. (Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. 、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数 、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件. 、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. . . 、收敛