斯托克斯公式环流量与旋度.doc

一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。我们首先介绍有向曲面的边界曲线的正向的规定,然后陈述并证明斯托克斯公式。【定理】设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数、、在包含曲面在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数,则有(1)公式(1)叫做斯托克斯公式。证:先假定与平行于轴的直线相不多于一点,并设为曲面的上侧,的正向边界曲线在面上的投影为平面有向曲线,所围成的闭区域为。我们设法把曲面积分化为闭区域上的二重积分,然后通过格林公式使它与曲线积分联系。根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系,有(2),有向曲面的法向量的方向余弦为,,因此,把它代入(2)式得即(3)上式右端的曲面积分化为二重积分时,应把中的用来代替,因为由复合函数的微分法,有所以,(3)式可写成根据格林公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域的边界的曲线积分于是因为函数在曲线上点处的值与函数在曲线上对应点处的值是一样的,并且两曲线上的对应小弧段在轴上的投影也是一样,根据曲线积分的定义,上式右端的曲线积分等于曲线上的曲线积分,因此,我们证得(4)如果取下侧,也相应地改成相反的方向,那末(4)式两端同时改变符号,因此(4)式仍成立。其次,如果曲面与平行于轴的直线的交点多于一个,则可作辅助曲线把曲面分成几部分,然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,所以对于这一类曲面公式(4)也成立。同样可证把它们与公式(4)相加即得公式(1)。为了便于记忆,利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成把其中的行列式按第一行展开,把与的“积”理解为,与的“积”理解为等等,于是这个行列式就“等于”这恰好是公式(1)左端的被积表达式。利用两类曲面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一形式:其中为有向曲面的单位法向量。如果是面上的一块平面闭区域,斯托克斯公式就变成格林公式。因此,格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。【例1】利用斯托克斯公式计算曲线积分图10-28(b)(a)其中是用平面截立方体:,,的表面所得截痕,若从轴的正向看去,取逆时针方向。解:取为平面的上侧被所围成的部分,的单位法向量,即,按斯托克斯公式,有因为在上,,故其中为在平面上的投影区域,为的面积,因此故http://home.//*二、,利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全关似地,利用斯托克斯公式,可推得空间曲线积分与路径无关的条件。首先我们指出,空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零。关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题,有以下结论:【定理】设空间开区域是一维单连通域,函数、、在内具有一阶连续偏导数,则空间曲线积分在内与路径无关(或沿任意闭曲线的曲线积分为零)的充分条件是等式,,(5)在内恒成立。证:如果等式(5)在内恒成立,则由斯托克斯公式(1)立即可看出,沿闭曲线的曲线积分为零,因此条件是充分的。反之,设沿内任意闭曲线的曲线积分为零,若内有一点使(5)式中的三个等式不完全成立,例如。不妨假定过点作,并在这个平面上取一个以为圆心,