指标定理.doc

,是指由阿蒂亚、辛格(Singer)于1963年证明的,以他们的名字命名的定理。它被公认为是二十世纪最重要的数学成就之一。有不少人认为如果在二十世纪中挑选出两个最伟大的数学定理,那么其中之一就应该是阿蒂亚-辛格的指标定理(另一个是外尔斯(Wiles)证明的费马(Fermat)大定理)。它的大意是说:对一个封闭的弯曲空间上的一类微分算子(称为线性椭圆微分算子),可以定义两个整数:一个是用分析办法定义的,称为分析指标;另一个是用拓扑办法定义的,称为拓扑指标。在这个情形下,阿蒂亚-辛格指标定理可以叙述为:“对任何一个线性椭圆微分算子D,下面的公式成立:蚅膂螀D的分析指标=D的拓扑指标。”莂葿芈从这个定理的字面上就可以大致了解,本质上它在数学的两大领域-分析与拓扑-之间建立起了一座内在的桥梁。像这样的将两个看似无关的领域紧密结合起来的结果,其重要性及应用的广泛性是显而易见的。从另外一个角度讲,"D的分析指标"是通过分析的方法决定的一个"整体"的不变量,而"D的拓扑指标"经由所谓的陈省身-魏依(Chern-Weil)理论可以有一个"局部"的表达式。这样上述的公式就可以有另外一种更抽象同时也更具哲学意味的形式:肆袄膆“整体=局部的叠加”。膁蕿羀这里尽管"局部"的量可以任意的变化,但是通过"叠加"(积分)后得到的整体量却是固定不变的!这种"万变不离其宗"的要旨体现出惊人的美感,给人以强烈的震撼。蒇节蕿如此优美并显然有重要意义的定理在数学中的地位自然举足轻重。例如它就包含了当时微分几何学、拓扑学以及代数几何学中的诸多大定理如高斯-博内特-陈省身(Gauss--Chern)定理、希策布鲁赫(Hirzebruch)符号差定理、希策布鲁赫-黎曼-洛赫(Hirzebruch-Riemann-Roch)定理等等为其特例。无怪乎我国指标定理专家虞言林教授感叹:指标定理像个大太阳,许多大定理都围绕着它转。而著名数学家哈尔莫斯(Halmos)在其综述报告《数学的进展慢下来了吗?》中的评论或许更能说明问题:"这项工作的成果是最深刻和最广泛的。对作为报告人的我来说,它是这份报告中最铁的部分。它们不仅是一个定理,而且是一种理论、一个领域、一种观点,这种观点进入数学的许多部分,同时也受它们的影响。在写到过去50年来微分几何的惊人成就时,奥瑟曼(Osserman)称阿蒂亚-辛格指标定理为'分析、拓扑与几何的美妙综合,特别导致对高斯-博内特定理的新看法:不是作为孤立的结论,而是一大群事物中的一个'."指标理论的创始人阿蒂亚、辛格理所当然地获得了国际数学界的褒奖:阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖;阿蒂亚和辛格共同获得了2004年的阿贝尔奖。:高斯-博内特-陈省身公式及其发展袈肄薆中国数学家对阿蒂亚-辛格指标定理的形成做出了先驱性的贡献。其中最突出的就是陈省身先生于上世纪四十年代中期的一系列开创性工作,特别是上面已经提到的高斯-博内特-陈省身定理,还有就是陈省身示性类的提出和研究。陈先生自己说过,他一生最好的工作就是高维高斯-博内特公式的内蕴证明。有鉴于此,更由于高斯-博内特-陈省身定理的突出的历史地位,我们先对这个定理的来龙去脉作一个简略的回顾。羃蝿蚂事实上,陈省身先生的工作可以追朔到著名的古希腊欧几里得(Euclid