第2讲平面向量的基本概念--教师版.doc

一、向量的基本概念思考:生活中有哪些量是既有大小又有方向的?哪些量只有大小没有方向?向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题:.数量与向量有何区别?.如何表示向量?.有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?.长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?数量和向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小,不能比较大小。:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体)等表示;③用有向线段的起点与终点字母表示:;向量的大小——长度称为向量的模,记作||。有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,三要素:起点、方向、长度。向量与有向线段的区别:⑴向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量;⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向,也是不同的有向线段。零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作。②长度为1个单位长度的向量,叫做单位向量。说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量?相等向量的定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明:⑴向量与相等,记作=;⑵零向量与零向量相等;⑶任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关。平行向量的定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定与任一向量平行。说明:⑴综合①②才是平行向量的完整定义;⑵向量平行,记作。:数可进行加法运算:1+2=3,那么向量的加法是怎样定义的?长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢?①某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和:;②若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和;③某人从A到B,再从B改变方向到C,则两次的位移和。⑴向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。⑵三角形法则:⑶四边形法则:练****⑴相反向量:与长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,记作。①;②任一向量与其相反向量的和是零向量,即:;③如果是互为相反的向量,则:。⑵向量的减法:向量加上的相反向量,叫做和的差。即向量减法法则:两向量起点相同,则差向量就是连结两向量终点,指向被减向量终点的向量。注意:①起点相同;②指向被减向量的终点。,,用、表示向量。、B、C的向量分别为、、,试用向量、、表示。向量的数乘运算实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:⑴;⑵当>0时,的方向与的方向相同;当<0时,的方向与的方向相反;特别的,当=0或=时,=。注意:实数与向量,可以做积,但不可以做加减法,即+,-是无意义的。实数与向量的积的运算律:设、为任意向量,为任意实数,则有:①;②③;;(1).(2).结论:向量与非零向量共线,当且仅当有唯一一个实数,是的=。?,且,你能用表示吗?向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算,对任意实数,恒有。,求证:向量共线。,试判断是否共线?定理的应用:(1).有关向量共线问题;(2).证明三点共线:三点共线;(3).证明两直线平行问题。,试作,你能判断三点间的位置关系吗?为什么?,,求证:四边形为梯形。向量的坐标表示及其运算在平面直角坐标系内,方向分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量(normalizedorthogonalbasevector),分别记为和考虑是平面上任一向量,怎样用基本单位向量、表示呢?如图将向量的起点置于坐标原点O,记终点为A,则有。我们将叫做点A的位置向量如果点A的坐标为(x,y),那么点A在x轴上的射影点A1的坐标是(x,0),点A在y轴上的射影点A2的坐标是(0,y)。根据前面的定义,有,。由向量的平行四边形法则,可知=+=+。在上式中,向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘以实数x、y后组成的和式,该和式称为、的线性组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解(positionofvectors)。平面上任意向量都有与它相等的位置向量,所以向量也都可以用基本向量、表示:==+。其中的系数x、y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标,通常我们用有序实数对(x,y)表示向量,并称(x,y)为向量的坐标,记作=(x,y)。显然=(1,0),=(0,1)