求极限方法.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse薂求极限的若干方法及探讨螇摘要肇本文从三个方面探讨了求极限的方法。在第一部分首先探讨了利用单调有界原理及压缩映像原理求极限,它对于序列递推形式题目的极限比较常用,首先应用单调有界性证明存在性,其次应用压缩映像定理证明极限值。在第二部分利用Stolz定理求极限,对于一些分子分母为求和式的比式极限题目经常用,是比较普遍的方法。第三部分是对复合函数求极限,应用Topliz定理其关键在于构造一个Topliz变换得到了特殊的解法,求出复杂函数极限。在每部分给出了求极限的类型、原理,并在每种方法后面列举例题。节关键词蚀单调有界原理及压缩映像原理Stolz定理Toplitz定理***引言螈极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的,例如:我国古代数学家刘徽(公元3世纪),利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的应用。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法。极限的概念已成为高等数学中最基本、最重要的概念,是微积分理论的基础。由于高等数学中的许多重要概念,如连续、导数微分和积分等都要用极限概念来表达,有些运算方法也是建立在极限概念基础上,因此掌握极限概念的理论和求极限的方法,对学****高等数学来说是非常重要的。数学分析中我们已经学过一些常见的求极限的方法,例如:利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对一些特殊的极限题目很难解决,例如:设a>0,a>0,a=求的问题题目仅给出了第n项与第n+1项的关系,若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等一时很难下手,还有求及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法,对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。莃一、序列递推形式的极限肂序列递推形式的极限是一类较复杂的题目,它的规律不强难于下手,它仅给出了第n项与第n+1项的关系,例如已知x=2求的题目在做题时经常遇到,下面我们将讨论集中方法,我们首先介绍一下此定理。袀利用单调有界性定律证明,即是序列{x}单调,有界,则极限存在。芄利用压缩映像原理进行证明,(1)在区间[a,b]中,任意x属于[a,b]则有属于[a,b],(2)任意x,y属于[a,b],则存在r,0<r<1使<rx-y,这时称函数满足压缩映像原理。蒄此时若有数列,属于自然数,x-x<-<rx-x,其中0<r<1,则{x}收敛,可由柯西定理证明。膁单调性的证明,芀作差法,令r=x-x,若r<0,{x} 单调下降而且是严格的,若r>0则,{x} 单调上升的而且是严格的肄若x0,令r=,若r>1,则,{x} 单调上升的而且是严格的,若0<r<1则{x} 单调下降而且是严格的,其中也可以是非严格的节的导数,在区间上>0,则严格单调上<0则严格单调下降,若0<<1,r<1则由压缩映像原理直接可得{x} 的收敛性,因为由微分学基本定理中的中值定理可知{x} 满足压缩映像条件,x-x<=()x-x<rx-x,所以数列收敛。艿应用单调有界性证明,{x} ,已知x=1,行x=,n=0,1,2,3,4,……,存在极限,并且求其值。螅分析:{x} 序列有界单调性往往与初值有关,因而必须重视初值。芃解:首先证明有界性,因为x=1,x=,所以1<x==<2,1<x=<2,<<x=<2,假设1<x<2,来证1<x<2蚂因为x=<2,所以{x}有界为2,膈再证单调性,令=,则=所以=>0,当x属于[0,2],则单调上升,所以{x}单调上升,所以存在极限设为a,则有a=薅因此a=0(舍去)或a=[]=I上可微,且<a<1,-a<(1-b)=,=,x=,…….x=…….则x=x则x为方程的根x=.薈证明:首先证明xI,令x=I,任取x,则x-a=-+-a<-+-a<()x-a+-a<+(1-b)r=r芆所以xI,xI,再由微分学基本定理得x-x=-=(x-x)<bx-x膂符合压缩映像原理,所以x收敛。肂对于给出递推公式的题目,有时可通过把其通项写出来,观察通项的特点是否满足单调性及压缩映像原理的条件有时则可简化计算。羇二、满足Stolz定理的极限羆对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的,但是用此定理就非常的简单了,而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算,应用比较方便。首先介绍一下此定理;膃Stolz定理1():已知两个数列(x){y},数列{x},严格单调上升,而且下x+,当n+,=l,其中l为有限数或为+或-则=l;芁Stolz定理2():已知两数列(x){y},y0当