圆的知识点总结.docx

薂圆的知识点总结蒁(一)圆的有关性质袇[知识归纳]蚄 :莂   圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;艿   弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;腿   圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。肄    圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;芀   圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;芇   圆具有旋转不变性。螇    不在同一条直线上的三点确定一个圆。薅    垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;蒁   推论1 袈(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;莃   (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;肂   (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。袀   垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。薈   推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。蒄 、弧、弦、弦心距之间的关系膁   定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。荿   推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。肄   此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。薅   圆心角的度数等于它所对的弧的度数。薃    定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;螅   推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;莃   推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;蚁   推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。膈   圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。   圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。螀 ※ 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。芅(1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆;蒆(2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;膂(3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。肇[例题分析]肆 :如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。芃图1芀   ①若AB=,ON=1,求MN的长;螀   ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。螆   解:①∵AB=,半径OM⊥AB, ∴AN=BN=芄   ∵ON=1,由勾股定理得OA=2蚃   ∴MN=OM-ON=OA-ON=1膀   ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60°薇   ∵ON=OA·cos∠AON=OM·cos60°=肂   ∴螁   说明:如图1,一般地,若∠AOB=2n°,OM⊥AB于N,AO=R,ON=h,则AB=2Rsinn°=2htann°=蕿 :如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点C为圆心、AC为半径作⊙C,交AB于点D,求的度数。芇图2膃分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。袀解法一:(用垂径定理求)如图2-1,过点C作CE⊥AB于点E,交于点F。肈图2-1肇   ∴膄   又∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠FCA=25°节   ∴的度数为25°,∴的度数为50°。蒈   解法二:(用圆周角求)如图2-2,延长AC交⊙C于点E,连结ED螈图2-2羂   ∵AE是直径,∴∠ADE=90°莀   ∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠E=∠B=25°袇   ∴的度数为50°。蒈   解法三:(用圆心角求)如图2-3,连结CD肃图2-3螃   ∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠A=65°薀   ∵CA=CD,∴∠ADC=∠A=65°羄   ∴∠ACD=50°,∴的度数为50°。:如图3,△ABC内接于⊙O且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离OD等于2cm,求AB的长。袁析:因为不知道∠A是锐角还是钝角,因此圆心有可能