平面向量与三角形三心.doc

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1)::如图三点共线,且分为2:1是的重心(2):如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC,D、,为的垂心(3)设,,是三角形的三条边长,:分别为方向上的单位向量,平分,),令()化简得(4)为的外心。典型例题分析[例题]已知点G是内任意一点,.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的__________.(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记,,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)记,,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,,得,(关键点),点G是高线上的点,故应填垂心.[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”:(1)是的重心.(2)为的垂心.(3)设,,是三角形的三条边长,。或者若点为内任意一点,若点满足:1.;,且;3.;4..结合运用:例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的():如图所示,分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心,:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的(B):分别为方向上