第三章一元函数导数的应用 学习指导书.doc

教学与考试基本要求:理解三个中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理),会用它们证明不等式及零点问题;会灵活运用罗必达法则求未定式的值;会用导数符号判断函数的单调性、凹凸性并会求函数的极值、最值与拐点;、主要内容回顾罗尔定理若函数在上连续,在内可导且,则在内至少有一点,使得。注:是函数的零点。拉格朗日中值定理若函数在上连续,在内可导,则在内至少有一点,使得。推论1若函数在区间上恒有,则在上为常数)推论2若在区间上恒有,则在上为常数)柯西中值定理若函数,满足:⑴在上连续;⑵在内可导;⑶在内,则在内至少存在一点,使得二、基本题型及例题题型1 选择题下列函数中,在[-1,1]上满足罗尔定理条件的函数是( C )A B C D 题型2 填空题函数在[-1,1]上满足拉格朗日中值定理的点是题型3 证明题证明:当时,。证明方程只有一个正根。证明:若函数在内满足关系式。证(1)令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,所以即而故(2)设,,由零点定理知,方程在(0,2)内至少有一个根。又假设方程有两个根,则,由罗尔定理知在内至少有一点,使。但。假设错误。故结论成立。(3) 设,则由推论1知又知,即,故三****题选解****题3-1教材解函数在[1,3]上连续,在(1,3)内可导,,令得因为在[1,3]上有两个根。所以罗尔定理成立。[0,3]上连续,在(0,3)内可导,即满足拉格朗日中值定理的条件。令,得拉格朗日定理成立。,则在上满足拉格朗日中值定理条件,在内至少有一点,使得。由假设知结论成立。罗必塔法则一、主要内容回顾罗必塔法则设⑴⑵在的某去心邻域内可微,且,⑶存在(或为无穷大),则注:①时上面公式仍成立。②或,时,上面公式仍成立。③法则可以连续使用。④当不存在或不为时,不能依此推出不存在。二、基本题型及例题题型1 判断题由于不存在,则不存在。(错)题型2 计算题求求(3) 求(4) 求解(1)注:对型未定式,只要满足罗必塔法则的条件,可直接运用法则来求。(2)(3) 注:对型未定式,先化为型,再利用罗必塔法则来求。注:对型未定式,通过取对数,先化为型,再化为型,利用罗必塔法则来求。三****题选解解⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶ ,故不能用罗必塔法则。 函数单调性的的判别法及极值一、主要内容回顾函数极值定义如果函数在的某个邻域内有定义,若对于该邻域内的任意有⑴,则称为函数的极大值,称为极大值点;⑵,则称为函数的极小值,称为极小值点。极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点。注:①函数的的极值是仅在某点的邻域内来考察的,是局部的、相对的;②函数的极大值与极小值可能不只一个;③极大值不一定大于极小值。驻点若,则称为函数的驻点(或稳定点)。函数单调性判别法设函数在上连续,在内可导,⑴若在内,则函数在上单调增加;⑵若在内,则函数在上单调减少。极值的必要条件如果函数在处可导,且在处取得极值,则即可导函数的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。极值点可以是不可导点。极值的第一判别法设在点连续,在的某去心邻域内可导。⑴若在内,在内,则在点取得极大值;⑵若在内,在内,则在点取得极小值;⑶若在和内保持相同的符号,则在点不取极值。极值的第二判别法设在点具有二阶导数,且,则⑴当时,在点取得极小值;⑵当时,在点取得极大值。注:①当时,可能是也可能不是极值点;②对于不可导点不能用此判别法。二、基本题型用例题题型1 判断题⑴若为函数的极小值,为的极大值,则必有(错)⑵若是函数的极值点,则(错)题型二证明题⑴已知函数在上连续,在内可导,且在单调增加,。证明:在内单调增加。⑵证明:当时,。⑶证明:方程有且仅有一个实根。证(1) ,令,因为在单调增加,则,,在单调增加,,所以,在内单调增加。(2) 设,则在上单调增加,从而故(3) 设,则在上连续,而由零点定理知在上至少有一个零点,即至少有一个实根。又,在上单调增加,在上至多有一个零点综合得:方程有且仅有一个实根。题型3 计算题⑴讨论函数的单调性,并求其极值。⑵设在处取得极值,求的值,并判断是极大还是极小值。解(1)因为所以驻点为-11-0+0-减少极小值增加极大值减少极小值为,极大值为(2)因,依题意联立解之,得, 又,所以为极大值,为极小值。三****题选解****题3-3解(1)令,得驻点极大值为(2)令,得驻点0-0+减少极小值增加极小值为(3)令,得驻点, 而为不可导点,01+不存在+0-不存在+增加增加极大值减少极小值增加极大值为,极小值为(4)令得驻点当时,;当时,。函数的单调增加区间为,单调减少区间为,,则,又,为极大值。(1)设,则在上单调增加,即(2)设,则 在上单调增加, 函数的最大值最小值及其应用一、主