差分方程及微分方程数值解.doc

莂东南大学《数学实验》报告蕿薇实验内容:差分方程及微分方程数值解螂一实验目的膂熟悉迭代法及微分方程数值方法莇二预备知识蚅(1)了解差分方程稳定性、周期分解、混沌等相关知识节(2)了解欧拉方法、龙格-库特方法。袃三实验内容与要求蒈肇(一)Volterra方程数值解羅方程荿其中a=1,b=,c=,d=:聿functiondxdt=euler(t,x)芇dxdt=[x(1)*(1-*x(2))芄x(2)*(-+*x(1))];螄end袀莈四阶龙格-库塔公式:蚇在命令窗口中输入:膃tspan=[015];薀x0=[25;2];荿[t,x]=ode45(***@euler,tspan,x0);螅plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',);蚃holdon;芁plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',);***holdon;***axis([0150125])肂legend('x(1)','x(2)')螃螂相图衿四阶龙格-库塔公式:羆肁gridon芈title('TheNumericalSolutionOfCalculablewayoffourthrankRounge-kutt')芆plot(x(:,1),x(:,2))螅螁芀莄膅薂肇螆薄节膈欧拉方法:袅在命令窗口中输入:肄tspan=[015];肃x0=[25;2];芀[t,x]=ode23(***@euler,tspan,x0);芇plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',);蒃holdon;膂欧拉公式:蒂羀肅袅螃plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',);肇holdon;莆axis([0150125])袂legend('x(1)','x(2)')艿gridon肈title('TheNumericalSolutionOfEulerEquation')蒄>>plot(x(:,1),x(:,2))莂羀膀袆羅螀羇羅蒄蒀膂螇蒇轨线图芅四/五阶龙格-库塔公式:羃衿欧拉公式:薅罿莇袄芁肀蒅芃羁袇袈蚄葿袀袈膃腿蚈羆薃袀差分阻滞增长模型蝿膄羂蚀在t时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量x有关(等于右边的值),其中的r表示人口的固有增长率,,即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有关。,,即k趋于无穷时,xk的极限如何,即差分方程平衡点的稳定性问题。羄求得差分方程(2)的平衡点为0和(b-1)/(1)(2)在平衡点附近展开,有蒈膄注意到b=1+r>1,|2-b|<1时,平衡点x*=(b-1)/b是稳定的.|2-b|>1即b>3时,平衡点x*(1)稳定情况()蒈肇羅稳定性分析荿b=,在1到3范围之间***稳定性分析***b=,在1到3范围之间葿稳定膆命令与结果(图)莅functionx=block(b,x0)聿b=;芇ifnargin<2芄x0=;螄end袀x=x0;莈n=1:10000;蚇fori=2:10000膃x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1));薀end荿plot(n,x,'.');螅end蚃结果图:芁肂稳定肁命令与结果(图)芈functionx=block(b,x0)芆b=;螅ifnargin<2螁x0=;芀end莄x=x0;膅n=1:10000;薂fori=2:10000肇x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1));螆end薄plot(n,x,'.');节end膈结果图:袅肄肃芀芇蒃螃肇莆袂艿肈蒄(2)不稳定情况莂羀膀稳定性分析袆b==(图)羇蒀不稳定罿命令与结果(图)莇袄芁肀(3)倍周期分解蒅芃羁求稳定平衡点袇可得两个平衡点::螃functionx=block(b,x0)螂b=;衿ifnargin<2蚈(1)求稳定平衡点羆四个平衡点::袀functionx=block(b,x0)蝿b=;膄ifnargin<2