2003年数学二考研试题与答案.doc

肃2003年考研数学(二)真题评注薂填空题(本题共6小题,每小题4分,)薈(1)若时,与是等价无穷小,则a=.***膁(2)设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)(3)(4)设曲线的极坐标方程为,(5)设为3维列向量,,则蒁=.聿(6)设三阶方阵A,B满足,其中E为三阶单位矩阵,若,、选择题(本题共6小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)袁(1)设均为非负数列,且,,,则必有袀(A)对任意n成立.(B)(C)极限不存在.(D)极限不存在.[]肄(2)设,则极限等于芀(A).(B).薀(C).(D).[]袄(3)已知是微分方程的解,则的表达式为膃(A)(B)虿(C)(D)[]肆(4)设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)(D)三个极小值点和一个极大值点.[]羇蚃y袂薇螄螂Ox芁芇螆(5)设,,则膄(A)(B)蚁(C)(D)[]肈(6)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则袇(A)当时,向量组II必线性相关.(B)当时,(C)当时,向量组I必线性相关.(D)当时,[]螈蚄三、(本题满分10分)蚅设函数薀问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?蕿螆四、(本题满分9分)螃设函数y=y(x)由参数方程所确定,求罿五、(本题满分9分)艿计算不定积分螇六、(本题满分12分)袂设函数y=y(x)在内具有二阶导数,且是y=y(x)(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;罿(2)、(本题满分12分)、(本题满分12分)螀设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,=f(x)的方程;莂已知曲线y=sinx在上的弧长为,试用表示曲线y=f(x)、(本题满分10分)芆有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕y蚇轴旋转而成的旋转曲面(如图),,当以的速率向容器内注入液体时,羀液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前,羆容器内无液体).蒅根据t时刻液面的面积,写出t与之间的关系式;(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分.)螇十、(本题满分10分)薆设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且若极限存在,证明:羁在(a,b)内f(x)>0;螂在(a,b)内存在点,使蒀;薀(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点,使芇膁十一、(本题满分10分)膀若矩阵相似于对角阵,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使莈莅十二、(本题满分8分)袅已知平面上三条不同直线的方程分别为袁,荿,.【分析】根据等价无穷小量的定义,相当于已知,【详解】当时,,.袂于是,根据题设有,故a=-【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复****指南》【】.蒅2..【分析】先求出在点(1,1)处的导数,【详解】等式两边直接对x求导,得蚃,膈将x=1,y=1代入上式,有故过点(1,1)处的切线方程为袇,即蚅【评注】本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点,类似例题见《数学复****指南》【】和【】.聿3..【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值,则麦克劳林公式中项的系数是艿【详解】因为,,,于是有羆,故麦克劳林公式中项的系数是肄【评注】本题属常规题型,..【分析】【详解】所求面积为肄薄=.薀【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算,也可化为参数方程求面积,《数学复****指南》【】.肈5..【分析】本题的关键是矩阵的秩为1,必可分解为一列乘一行的形式,而行向量一般可选第一行(或任一非零行),【详解】由=,知,于是羃莀【评注】一般地,若n阶矩阵A的秩