2013年安徽卷文科压轴题研究分析.doc

2013年安徽卷文科压轴题研究-中学数学论文2013年安徽卷文科压轴题研究 董同兵1戚有建2(1、高邮市第一中学,江苏扬州225600;2、扬州中学,江苏扬州225002)摘要:文章从2013年安徽卷文科21题第(2)问出发,先将结论推广为一般情形,:唯一公共点;圆锥曲线;文科压轴题中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005-6351(2013)-11-0018-01一、考题展示(2013年安徽卷文科21题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,(ab0)地焦距为4,且过点P(2,3),(1)求椭圆C地方程;(2)设Q(x0,y0),(x0y0≠0)为椭圆C上任一点,过点Q作x轴地垂线,垂足为E,取点A(0,22),连接AE,过点A作AE地垂线交x轴于点D,点G是点D关于y轴地对称点,作直线QG,问这样作出地直线QG是否与椭圆C一定有唯一地公共点?:(1)由点P(2,3)在椭圆上得2a2+3b2=1①,又2c=4②,a2=b2+c2③,联列①②③解得a=22,b=2,所以椭圆C地方程为x28+y24=1.(2)由题意得E(x0,0),设D(xD,0),则AE=(x0,-22),AD=(xD,-22),由AD⊥AE得AD·AE=0,即xDx0+8=0,即xD=-8x0,故G(8x0,0),故直线QG地斜率kQG=y0x0-8x0=x0y0x20-8,又由点Q(x0,y0)在椭圆C上得x20+2y20=8④,从而kQG=y0x0-8x0=x0y0x20-8=-x02y0,故直线QG地方程为y=-x02y0(x-8x0)⑤,将⑤代入椭圆C方程得(x20+2y20)x2-16x0x+64-16y20=0,再将④代入上式,化简得x2-2x0x+x20=0,解得x=x0,y=y0,:本题是2013年安徽卷文科最后一题,是压轴题,考查地是椭圆地标准方程和几何性质、直线地方程、直线和椭圆地位置关系等基本知识,考查待定系数法、坐标法等基本方法,考查数形结合、函数方程、转化化归等基本数学思想,同时考查运算能力、(1)问学生很容易上手,用待定系数法来处理,第(2)问实际上是研究直线和椭圆地位置关系,可以用坐标法来处理,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有一定难度和区分度,也有很大地研究空间,我们重点研究第(2)、一般化研究如图2,设Q(x0,y0),(x0y0≠0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1,(ab0)上任一点,过点Q作x轴地垂线,垂足为E,取点A(0,a),连接AE,过点A作AE地垂线交x轴于点D,点G是点D关于y轴地对称点,作直线QG,:由题意得E(x0,0),设D(xD,0),则AE=(x0,-a),AD=(xD,-a),由AD⊥AE得AD·AE=0,即xDx0+a2=0,即xD=-a2x0,故G(a2x0,0),故直线QG地斜率kQG=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2,又由点Q(x0,y0)在椭圆C上得x20a2+y20b2=1⑦,从而kQG=x0y0x20-a2=-b2x0a2y0⑥,故直线QG地方程为y=-b2x0a2y0(x-a2x0