例析平行四边形的综合运用.doc

例析平行四边形的综合运用.doc例析平行四边形的综合运用平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分,因此,由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角。所以,在复****的过程中同学们要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理,正确地运用相关的结论解决相关的问题。一、利用平行四边形的性质例1如图1,已知:在平行四边形ABCD中,的平分线交边于,的平分线交于,:.思路点拨:要想判断相等,一般情况下,可以判断这两条线段所在的三角形全等,但观察图形,这两条线段所在的三角形不可能全等,因此,我们可以借助于平行四边形的性质,得到AD=BC,所以,只要证明:AG=DE既可以得到这一结论。图1ABCDEFG证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD(平行四边形的对边平行,对边相等)∴∠GBC=∠BGA,∠BCE=∠CED(两直线平行,内错角相等)又∵BG平分,CE平分∴∠ABG=∠GBC,∠BCE=∠ECD∴∠ABG=∠BGA,∠ECD=∠CED∴AB=AG,CD=DE(在同一个三角形中,等角对等边)∴AG=DE,∴AG-EC=DE-EG,即点评:平行四边形是证明线段相等的桥梁。二、利用平行四边形的判定例2已知,如图,在平行四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH,求证:EF与GH互相平分。ABCDEGFH证明:连结HE、EG、GF、FH,思路点拨:要想判断EF与GH互相平分,可以EF、HG这两条线段所在的四边形是平行四边形,就可以使问题得到解决。证明:在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D又∵AE=CF,BG=DH∴DF=BE,AH=CG∴△AEH≌△CFG,△BGE≌△DHF,∴HE=GF,HF=GE∴四边形EGFH是平行四边形∴EF与GH互相平分点评:“平行四边形的对角线互相平分”是证明两条线段相等的常用方法之一。三、与三角形全等联姻例3已知,如图,平行四边形ABCD中,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,求证:BE=DF。ABCDFE思路点拨:平行四边形的性质是从边、角、对角线来诠释的,本题中由平行四边形ABCD可得到AD∥BC,且AD=BC,从而得到∠DAC=∠ACB,然后证得△ADF≌△CBE,即得BE=DF。证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC∴∠DAC=∠ACB∵BE⊥AC,DF⊥AC∴∠DFA=∠BEC=,在△ADF和△CBE中,∠DFA=∠BEC,∠DAC=∠ACB,AD=BC∴△ADF≌△CBE∴BE=DF点评:与三角形联姻是解决问题的常用方法。四、平行四边形性质与判定的混合运用ABCDMENF21例4已知:如图,在平行四边形ABCD中,BN=DM,BE=DF,四边形MENF是平行四边形吗?为什么?思路点拨:由题中条件分析,要证明四边形MENF是平行四边形,在这里只能从边的角度去论证。解:四边形MENF是平行四边形,理由如下:在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠1=∠2又∵BN=DM,BE=DF∴△DFM≌△BEN∴FM=EN