线性代数期末考试试题.ppt

§§:向量的内积§§§§§§:向量的内积一、向量内积的定义及性质在解析几何中有两向量的数量积的概念,即设x,y为两向量,则它们的数量积为:x·y=|x||y|cos.设向量x,y的坐标表示式为x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3),则x·y=x1y1+x2y2+(即模)和两向量夹角的概念:定义1:设有n维向量[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn,称[x,y](n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,,如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为:[x,y]=:记内积的运算性质设x,y,z为n维向量,为实数,则(1)[x,y]=[y,x];(2)[x,y]=[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)[x,x]0,当且仅当x=0时有[x,x]=、向量的长度及性质称||x||为n维向量x的长度(或范数).定义:令向量的长度具有下述性质:(1)非负性:||x||0,当且仅当x=0时有||x||=0;(2)齐次性:||x||=||||x||;(3)三角不等式:||x+y||||x||+||y||.证明:令单位向量及n维向量间的夹角(1)当||x||=1时,称x为单位向量.(2)当||x||0,||y||0时,称为n维向量x与y的夹角,规定0.例1:求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角解:[x,y]=13+21+25+31=18,所以故,向量x与y的夹角为:三、,[x,y]=0时,,若x=0,:若向量组1,2,···,r是n维正交向量组,则1,2,···,:方法一:设有数1,2,···,r,使得:11+22+···+rr=0方法二:由于1,2,···,r是两两正交的非零向量组,当ij时,[i,j]=iTj=0,当i=j时,[i,i]=iTi0,则有用iT(i=1,2,···,r)左乘上式得,1iT1+2iT2+···+riTr=iT0=0,iiTi=,1=2=···=r=0,所以1,2,···,:若正交向量组1,2,···,r是向量空间V的一组基,则称1,2,···,:3使1,2,3构成三维空间的一组正交基.1=(1,1,1)T,2=(1,–2,1)T即解之得解:设3=(x1,x2,x3)T0,且分别与1,[1,3]=[2,3]=0,x1=–x3,x2==1,