“隔板法”解决排列组合问题.doc

“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。例1、(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问不同放法有多少种?(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种?解:(1)将12个小球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中选出3个,放上“隔板”,若把“1”看成隔板,则如图0000100隔板将一排球分成四块,从左到右可以看成四个盒子放入的球数,即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个,4个,4个,2个小球,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有=165种。(2)法1:(分类)①装入一个盒子有种;②装入两个盒子,即12个相同的小球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有种;③装入三个盒子,即12个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有=220种;④装入四个盒子,即12个相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。法2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的12个小球任意装,即16个小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有种。(3)法1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩2个小球,则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子,共有种。法2:先给每个盒子装上比编号小1的小球,还剩6个小球,则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个,由隔板法有由上面的例题可以看出法2要比法1简单,即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例2、(1)方程的正整数解有多少组?(2)方程的非负整数解有多少组?(3)方程的非负整数整数解有多少组?解:(1)转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个,有种,所以该方程有84组正整数解。(2)转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子,可以有空盒,先给每个小盒装一个,进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子,每盒至少装一个,有种,所以该方程有286组非负整数整数解。(3)当时,转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子,可以有空盒,有种。当时,转化为1个小球装入9个不同的盒子,可以有空盒,有=9种;所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。例3、已知集合,选择的两个非空子集,且中最大的元素比中最小的元素小,则选择方法有多少种?解:由题意知的交集是空集,且的并集是的子集,所以至少含有两个元素,将中元素按从小到大的顺序排列,然后分为两部分,前边的给,后边的给,至少含有1个元素,设中有个元素,则转化为个相同的小球装入2个不同的盒子,则有种装法,故本题有种选择方法。总之,凡是处理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时,可用插“隔板”,若出现每组元素数目为0个时,向每组元素数目至少一个的模型转化,然后用“隔板”法加以解决。仅供个人用于学****研究;