2001考研数学一试题及答案解析.doc

数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,.)(1)设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设,则div(gradr)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:=_____________.(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_____________.(5)设随机变量的方差是,、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示, 则的图形为(2)设在点附近有定义,且,则(A) .(B) 曲面在处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线在处的切向量为{1,0,3}.(D) 曲线在处的切向量为{3,0,1}.(3)设,则在=0处可导的充要条件为(A) 存在. (B) 存在.(C) 存在. (D) 存在.(4)设则与(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 、(本题满分6分)、(本题满分6分)设函数在点处可微,且,,,.、(本题满分8分)设=将展开成的幂级数,、(本题满分7分)计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去,、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且,试证:(1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立;(2).八、(本题满分8分)设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系,,,,,、(本题满分8分)已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足.(1)记=(),求3阶矩阵,使;(2)、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数服从参数为()的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(),,求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率;(2)、(本题满分7分)设总体服从正态分布(),从该总体中抽取简单随机样本,,(),其样本均值为,、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,,所求微分方程为.(2)【分析】 =.再求 divgradr= =.于是 divgradr|=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,,: .=.(4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、. 因为,故,.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式,、选择题(1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对;当时,:增——减——增:正——负——正,(B)不对,(D)(D).(2)【分析】 (A),(0,0)存在两个偏导数在(0,0)(A)不一定成立. 关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数,,法向量n={3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立. 关于(C),该曲线的参数方程为 ,(C)成立.(3)【分析】 当时,.关于(A):,(A)成立,反之若(A)成立 .如满足(A),但不. 关于(D):若在可导, .(D)(D)成立在连续, 满足(D),但在处不连续,因而也不. 再看(C): (当它们都时).注意,,若(C)(C)成立(即).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不. 因此,只能选(B).(4)【分析】 由 ,知矩阵的特征值是4,0,0,,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似. 作为实对称矩阵,当时,知与有相同的特征值,从而二次型与有相同的正负惯性指数,(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,,它们的特征值不同,故与不相似,但它们的