根与系数关系知识讲解及练习.doc

韦达定理:对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,则说明:(1)定理成立的条件(2)注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的几大用处验根:不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根; 例如:已知方程x2-5x+6=0,下列是它两根的是(),-2B.-2,3C.-2,-,2求代数式的值:在不解方程的情况下,可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值,如; 求作新方程:已知方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 求根及未知数系数:已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.(后三种为主)(1)计算代数式的值例若是方程的两个根,试求下列各式的值: (1); (2); (3); (4).解:由题意,根据根与系数的关系得:(1)(2)(3)(4)说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:,,,,,.(2)构造新方程理论:以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5           xy=6   解:显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3                x2=3,y2=2显然,此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。解:设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2由题意知△=k2-4×2×2≥0,k≥4或k≤-4∴为所求。【典型例题】例1已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.(1)方程两实根的积为5; (2):(1)由韦达定理即可求之;(2)有两种可能,一是,二是,:(1)∵方程两实根的积为5 ∴ 所以,当时,方程两实根的积为5. (2)由得知: ①当时,,所以方程有两相等实数根,故; ②当时,,由于,故不合题意,舍去. 综上可得,时,:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,. (1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由. (2):(1)假设存在实数,使成立. ∵一元二次方程的两个实数根 ∴, 又是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ,但. ∴不存在实数,使成立. (2)∵ ∴要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到, :(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在. (2)本题综合性较强,,则的取值范围是( ) A. B. C. ,则的值为( ) A. B. C. ,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于( ) A. B. C. ,则判别式和完全平方式的关系是( ) A. B. C. ,且满足,则代数式的值为(