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膃第一章 随机事件和概率 袁(1)排列组合公式肁  从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。螇  从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。袆(2)加法和乘法原理蚁加法原理(两种方法均能完成此事):m+n袈某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。袆乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n莅某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由m×n种方法来完成。莁(3)一些常见排列袀重复排列和非重复排列(有序)膈对立事件(至少有一个)螅顺序问题肂(4)随机试验和随机事件羁如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。莆试验的可能结果称为随机事件。膄(5)基本事件、样本空间和事件袂在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:螈①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;虿②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。薄这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。薂基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。螀一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。螇为必然事件,Ø为不可能事件。肃不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。莃(6)事件的关系与运算袁①关系:羆如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):螆如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。肃A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。蚈属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。芈A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。膆-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。袄②运算:蚀 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C莆 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)薅 德摩根率:   ,芀(7)概率的公理化定义螁设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:蝿1°0≤P(A)≤1,羄2°P(Ω)=1肀3°对于两两互不相容的事件,,…有蕿 袇常称为可列(完全)可加性。蒄则称P(A)为事件的概率。螁(8)古典概型蚀1°,羅2°。袃设任一事件,它是由组成的,则有薁P(A)= =蚁 莈(9)几何概型节若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,芁。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。葿(10)加法公式蒆P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)羆当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)肂(11)减法公式薀P(A-B)=P(A)-P(AB)衿当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)莅当A=Ω时,P()=1-P(B)螂(12)条件概率莇定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。羇条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。袅例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)蒃(13)乘法公式荿乘法公式:肅更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有芄…………。芃(14)独立性蒀①两个事件的独立性蒈设事件、满足,则称事件、是相互独立的。蚃若事件、相互独立,且,则有羃 芈若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。薆必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。膃Ø与任何事件都互斥。螄②多个事件的独立性艿设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,羈P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)螆并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)芀那么A、B、C相互独立。莀对于n个事件类似。肇(15)全概公式芆设事件满足羀1°两两互不相容,,膈2°,膅则有蚅。蚁(16)贝叶斯公式艿设事件,,…,及满足薈1°,,…,两两互不相容,>0,1,2,…,,肄2°,,蒁则芀,i=1,2,…n。蚆此公式即为贝叶斯公式。薄,(,,…,),通常叫先验概率。,(,,…,),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,